Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной

Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной

Важной проблемой поиска корня нелинейной функции действительной переменной является выяснение интервала, на котором корень содержится. Ниже приведен алгоритм поиска такого интервала и ограничения на его применение.

Будем говорить, что корень функции f(x) окружен на интервале [a,b], если f(a) и f(b) имеют противоположные знаки. Для того, чтобы окруженный согласно этому определению корень действительно существовал на этом интервале, достаточно непрерывности f(x), а для его единственности - еще и монотонности. При невыполнении этих свойств возможно отсутствие корня на [a,b] или неопределенность его позиции.

При использовании компьютера мы всегда имеем дело с дискретным набором возможных представлений чисел (хотя и достаточно плотным). Кроме того, монотонность вычисленной функции может быть слегка нарушена в пределах точности ее вычисления. Это в ряде случаев усложняет вычисление окруженных корней функции, если к их точности предъявляются завышенные требования.

Окружение корня функции при гарантии ее определения на неограниченном интервале, производится по следующему итерационному алгоритму.

Алгоритм

Назначение: окружение корня функции, если ф-я определена на неограниченном интервале

Вход:

   Начальное приближение (input guess) x0

   начальный интервал поиска D

   инкремент начального интервала поиска d>1

   максимальное значение интервала M

Выход:

   интервал окружения [a,x0], либо

   интервал окружения [x0,b], либо

   сообщение об ошибке

Инициализация:

   calculate f0=f(x0)

Шаги:

1.    calculate (a=x0-D,b=x0+D;

                fa=f(a), fb=f(b))

2.    repeat

3.              increase search interval: D=D*d

4.              if search interval ≥ M then break the cycle with error message

5.              if sign(fa)≠sign(f0) then:

                          a root is bracketed on [a,x0] interval

                          break the cycle

             end of if

6.              if sign(fb)≠sign(f0) then:

                          a root is bracketed on [x0, b] interval

                          break the cycle

             end of if

7.              case f0>0:

8.                  compare(fa,fb):

9.                             if fa=fb then: /* both sides search */

                                 let a=a-D, b=b+D, fa=f(a), fb=f(b)

                           end of if fa=fb

10.                           if fa>fb then: /* the right side search */

                                 let a=x0, x0=b, fa=f0, f0=fb;

                                         let b=b+D, fb=f(b)

                           end of if fa>fb

11.                           if fa