ряд распределения рабочих каждого цеха и завода в целом по размеру заработной платы

Вариант № 7

Исходные данные для выполнения курсовой работы 

В результате выборочного обследования 10% рабочих авиаремонтного завода (по состоянию на 01 января текущего года) получены следующие данные: 

№№  п/п	Разряд	Производственный стаж, полных лет	Заработная плата, у.е.
1	2	3	4
		Цех № 1
1	4	5	539
2	1	1	487
3	4	7	554
4	2	2	507
5	1	1	490
6	2	5	519
7	3	8	536
8	5	10	574
9	2	0	481
10	3	7	533
11	2	2	515
12	2	3	524
13	5	5	553
14	1	1	479
15	3	4	509
16	3	8	552
17	2	3	526
18	2	1	495
19	1	0	492
20	4	6	562
21	2	5	516
22	1	0	483
23	4	8	531
24	4	12	548
25	2	4	521
26	3	7	529
27	3	6	520
28	2	1	475
29	3	8	525
30	1	0	472
31	4	3	553
32	2	4	518
33	1	0	485
34	2	3	508
35	3	8	507
36	5	17	578
37	2	1	505
38	6	23	600
39	3	4	528
40	3	11	538
		Цех № 2
1	3	5	536
2	2	1	501
3	3	3	517
4	4	15	571
5	2	1	492
6	4	19	562
7	1	0	480
8	3	5	541
9	3	7	535
10	2	1	502
11	3	3	528
12	4	12	565
13	4	2	525
14	5	6	536
15	5	8	574
16	3	3	523
17	6	29	571
18	2	3	498
19	4	13	537
20	3	8	530
21	1	1	494
22	2	0	468
23	4	3	513
24	3	9	547
25	6	9	594
26	5	12	588
27	1	2	504
28	3	6	523
29	1	0	460
30	4	14	536
31	2	4	517
32	3	5	535
33	3	0	492
34	4	15	553
35	5	8	573
36	2	1	486
37	4	2	543
38	3	4	522
39	3	7	534
40	4	10	558
41	2	4	506
42	2	4	512
43	3	11	552
44	4	5	527
45	4	7	547
46	5	15	595
47	3	4	514
48	3	8	555
49	3	9	524
50	2	4	505
51	4	11	559
52	1	1	491
53	3	9	534
54	4	10	552
55	3	2	526
56	5	21	597
57	3	8	521
58	2	0	483
59	5	13	575
60	2	2	508

1. Построить ряд распределения рабочих каждого цеха и завода в целом по размеру заработной платы, выделив 7 групп с равными интервалами. Определить в целом по заводу моду и медиану заработной платы рабочих.

2. Рассчитать средний тарифный разряд, средний производственный стаж рабочих завода, коэффициент вариации этих показателей. Сделать выводы.

3. Рассчитать среднюю заработную плату и дисперсию заработной платы рабочих завода обычным способом и способом условных моментов. 

4. С вероятностью 0,954 определить ошибку выборки средней заработной платы рабочих  цеха № 1 и для доли рабочих цеха № 1, имеющих заработную плату менее 500 у.е. Указать пределы возможных значений этих показателей в генеральной совокупности. Какая вероятность того, что доля рабочих, имеющих заработную плату до 500 у.е., в генеральной совокупности не превысит 30%?

5. Определить количественную взаимосвязь между признаками: 

5.1. С помощью графического метода определить форму связи между производственным стажем  и заработной платой рабочих цеха № 1 с № 21 по № 40 включительно (п=20).

5.2. Вычислить параметры уравнения регрессии, характеризующие зависимость между производственным стажем и заработной платой рабочих. Построить на графике теоретическую и эмпирическую линии регрессии. Объяснить смысл полученных параметров уравнения.

5.3.Определить степень тесноты связи между рассматриваемыми признаками

Решение

1)Построим ряд распределения рабочих каждого цеха и завода в целом по размеру заработной платы, выделив 7 групп с равными интервалами. Определим в целом по заводу моду и медиану заработной платы рабочих

1.1) Итак, для того, чтобы произвести группировку рабочих по размеру заработной платы, (факторный группировочный признак), выделив 7 групп с равными интервалами, нужно рассчитать ширину равного интервала по формуле:

                                              ,                                          (1.1)

где ,  – максимальное и минимальное значение признака,

  – число групп.

Округления произведем в большую сторону для облегчения дальнейших расчетов.

Для цеха №1:

у.е

Для цеха №2:

у.е

Для завода в целом:

у.е

     Произведем группировку рабочих цеха № 1 оформим в таблицу 1.., рабочих цеха 2 в таблицу 1.2, а завода в целом в таблицу 1.3.

Таблица 1.1

Ряд распределения рабочих цеха № 1 по размеру заработной платы

Группы рабочих цеха № 1 по размеру заработной платы, у.е. (Варианты, х)	Число рабочих (частоты) f
472-491	8
491-510	7
510-529	11
529-548	6
548-567	5
567-586	2
586 и более	1
Всего	40

Таблица 1.2

Ряд распределения рабочих цеха № 2 по размеру заработной платы

Группы рабочих цеха № 2 по размеру заработной платы, у.е. (Варианты, х)	Число рабочих (частоты) f
460-480	3
480-500	7
500-520	11
520-540	18
540-560	10
560-580	7
580 и более	4
Всего	60

Таблица 1.3

Ряд распределения рабочих завода по размеру заработной платы

Группы рабочих завода по размеру заработной платы, у.е.	Число рабочих f	Накопленная частота	Середина интервала х	xf
А	1	2	3	4	5
460-480	6	6	470	2820	-56,6	19221,36
480-500	14	20	490	6860	-36,6	18753,84
500-520	21	41	510	10710	-16,6	5786,76
520-540	29	70	530	15370	3,4	335,24
540-560	15	85	550	8250	23,4	8213,4
560-580	10	95	570	5700	43,4	18835,6
580-600	5	100	590	2950	63,4	20097,8
Всего	100	-	x	52660	х	91244

1.3)Рассчитываем моду (по результатам группировки рабочих всего завода) по формуле:

                 ,                                    (1.1)                                      

где -нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); 

- величина модального интервала; 

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному; 

- частота интервала, следующего за модальным. 

  у.е.

1.4)Рассчитываем медиану по формуле:

                          ,                                        (1.2)

где: -нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); 

-величина медианного интервала; 

-накопленная интервала, предшествующего медианному; 

- частота медианного интервала. 

 у.е.

Выводы: в результате группировки рабочих по цеху № 1 было сгруппировано 7 групп. Согласно данному распределению получили вариационный интервальный ряд, из которого следует, что 11 рабочих имеют   заработную плату от 510 у.е. до 529 у.е.

         В результате группировки рабочих по цеху № 2 было сгруппировано 7 групп. Согласно данному распределению получили вариационный интервальный ряд, из которого следует, что 18 рабочих имеют   заработную плату от 520 у.е. до 540 у.е.

         В результате группировки рабочих по заводу в целом было сгруппировано 7 групп. Согласно данному распределению получили вариационный интервальный ряд, из которого следует, что 29 рабочих имеют   заработную плату от 520 у.е. до 540 у.е.

         Чаще всего среди рабочих завода встречаются работники с заработной платой 527,3 у.е.

          Половина всех работников имеют  заработную плату больше чем 526,2 у.е., а другая половина рабочих - меньше, чем 526,2 у.е.

2. Рассчитываем средний тарифный разряд, средний производственный стаж рабочих завода, коэффициент вариации этих показателей.

 2.1) Для расчета среднего тарифного разряда и упрощения расчетов произведем предварительно группировку всех рабочих завода. В результате группировки получим следующий ряд распределения рабочих завода по тарифному разряду.

Таблица 2.1

Группировка рабочих завода по тарифному разряду

Группы рабочих завода по тарифному разряду.	Число рабочих f	xf
А	1	2	3	4
1	12	12	-2	48
2	25	50	-1	25
3	30	90	0	0
4	20	80	1	20
5	10	50	2	40
6	3	18	3	27
Всего	100	300	х	160

2.2) Рассчитываем средний тарифный разряд рабочих завода по формуле средней арифметической взвешенной (так как мы сгруппировали данные):

                                                                                                                    
                  (2.1)

где - индивидуальные значения осредняемого признака;

       - это частота повторения признака.

 Все  необходимые промежуточные расчеты указаны в таблице 2.1. Тогда:

2.3)  Определяем дисперсию по формуле:

                                                                   (2.2)

2.4)Определяем среднее квадратическое отклонение, которое представляет собой корень из дисперсии. Поэтому формула будет иметь вид:

          разряд                          (2.3)      

2.5)Определяем коэффициент вариации тарифного разряда  по формуле: 

                                                                                
          ,                                                (2.4)

 где: - среднее квадратическое отклонение

   - среднее значение исследуемого признака

  

2.6) Для того, чтобы рассчитать средний производственный стаж рабочих завода сгруппируем рабочих по производственному стажу.

Сформируем группы рабочих завода по производственному стажу с неравными прогрессивно-возрастающими интервалами в арифметической прогрессии.

Величина интервалов, изменяющихся в арифметической прогрессии, определяется следующим образом:  

где а – константа, имеющая для прогрессивно-возрастающих интервалов

Группа № 1  - 0-3

Группа № 2 – 3-9

Группа № 3 – 9-18

Группа № 4 – 18 и более

2.7) Проведем группировку рабочих по производственному стажу и представим полученные дынные в  виде статистического ряда распределения (таблица 2.2)

Таблица 2.2

Группировка рабочих завода по производственному стажу

Группы рабочих завода по производственному стажу, лет	Число рабочих f	Середина интервала х	xf
А	1	2	3	4	5
0-3	38	1,5	57	-4,5	769,5
3-9	42	6,0	252	0	0
9-18	16	13,5	216	7,5	900
18 и более	4	22,5	90	16,5	1089
Всего	100	х	615	х	2758,5

2.8) Рассчитываем средний производственный стаж рабочих завода по формуле 2.1.

Все  необходимые промежуточные расчеты для расчета дисперсии и коэффициента вариации указаны в таблице 2.2. Тогда:

                                     полных лет                                                                             
                    

2.9)  Определяем дисперсию по формуле 2.2:

              

 2.10)Определяем среднее квадратическое отклонение по формуле 2.3:

                        полных лет                   

    2.11)Определяем коэффициент вариации тарифного разряда  по формуле 2.4: 

  

Выводы: средний тарифный разряд рабочих по заводу в целом составляет 3 разряд, а средний производственный стаж рабочих по заводу в целом составляет 6 полных лет.

Анализ полученных значений показателей  и σ говорит о том, что отклонение от среднего значения тарифного разряда рабочих в ту или иную сторону составляет в среднем 1 разряд (или 33,3%), наиболее характерные значения тарифного разряда рабочих находятся в пределах от 2-го разряда до  4-го разряда (диапазон ).

А отклонение от среднего значения производственного стажа рабочих  в ту или иную сторону составляет в среднем 5 полных лет (или 83,3%), наиболее характерные значения производственного стажа рабочих находятся в пределах от 1-го года до  11 лет (диапазон ).

Значение коэффициента вариации  тарифного разряда V=33,3% не превышает 33,3%, следовательно, вариация тарифного разряда в исследуемой совокупности рабочих завода незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна.

А значение коэффициента вариации  производственного стажа рабочих, в отличие от коэффициента вариации тарифного разряда рабочих, превышает 33,3% (V=83,3%), следовательно, вариация рабочих по производственного стажу в исследуемой совокупности рабочих завода значительна и совокупность по данному признаку качественно неоднородна.

3) Рассчитываем среднюю заработную плату и дисперсию заработной платы рабочих завода обычным способом и способом условных моментов. 

3.1) На основании составленной таблицы 3.1. рассчитываем среднюю заработную плату рабочих завода обычным способом по формуле 2.2. 

                              у.е.                                      

3.2) Определяем дисперсию (обычным способом) по формуле 2.2:

                                                            

3.3) Рассчитываем среднюю заработную плату рабочих завода способом условных моментов

                                                                                     (3.1)

где: а -  размер варианта при наибольшей частоте;

k -  размер интервала при наибольшей частоте

Результаты расчета дисперсии рабочих  поместим в таблицу 3.1.

а =530 k = 20

у.е.

3.4)Рассчитываем дисперсию (вторым способом) по формуле [10; с.134]:

                    (3.2)

Таблица 3.1

Вспомогательная таблица для расчета средней и дисперсии методом моментов

Группы рабочих завода по размеру заработной платы, у.е.	Число рабочих f	Середина интервала х	х-а
А	1	3	4	5	6	7	8
460-480	6	470	-60	-3	-18	9	54
480-500	14	490	-40	-2	-28	4	56
500-520	21	510	-20	-1	-21	1	21
520-540	29	530	0	0	0	0	0
540-560	15	550	20	1	15	1	15
560-580	10	570	40	2	20	4	40
580-600	5	590	60	3	15	9	45
Всего	100	x	x	x	-17	x	231

3.5)Определяем среднее квадратическое отклонение по формуле 2.3:

                         у.е.                          

Выводы: средняя заработная плата рабочих по заводу в целом составляет 526,6 у.е.

Анализ полученных значений показателей  и σ говорит о том, что отклонение от среднего значения заработной платы рабочих завода в ту или иную сторону составляет в среднем 30,2 у.е. Наиболее характерные значения размера заработной платы рабочих находятся в пределах от 496,4 у.е. до 556,8 у.е.  (диапазон ).

4) С вероятностью 0,954 определим ошибку выборки средней заработной платы рабочих  цеха № 1. Укажем пределы возможных значений этих показателей в генеральной совокупности.

На основании данных таблицы 1.1 и для удобства и простоты дальнейших расчетов составим вспомогательную таблицу 4.1.

Таблица 4.1

Вспомогательная таблица

Группы рабочих цеха № 1 по размеру заработной платы, у.е. (Варианты, х)	Число рабочих (частоты) f	Середина интервала,  х	xf
472-491	8	481,5	3852	-39,7	12608,7
491-510	7	500,5	3503,5	-20,7	2999,43
510-529	11	519,5	5714,5	-1,7	31,79
529-548	6	538,5	3231	17,3	1795,74
548-567	5	557,5	2787,5	36,3	6588,45
567-586	2	576,5	1153	55,3	6116,18
586 и более	1	605,0	605	83,8	7022,44
Всего	40	х	20846,5	х	37162,8

4.1) Рассчитываем среднюю заработную плату рабочих цеха № 1 по формуле средней арифметической взвешенной, используя промежуточные расчеты таблицы 4.1:

у.е.

4.2) Так как была произведена 10% выборка рабочих цеха № 1, то именно эти 40 рабочих создают выборочную совокупность. Это означает вся численность совокупности равняется N=40/0,1=400 рабочих.

4.3)Определяем дисперсию по формуле 2.2:

               у.е.                                             

 4.4) Рассчитаем среднюю ошибку выборки для средней заработной платы рабочих цеха № 1:

 у.е.  (4.1)

4.5)Рассчитываем граничную ошибку выборки. Коэффициент доверия t при заданной вероятности 0,954 равняется :

у.е.                                                 (4.2)

Таким образом, генеральная средняя составляет:

                                                                                (4.3)

А это означает, что:

   

Выводы:  с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя заработная плата рабочих  цеха № 1 находится в пределах от 512,1 у.е. до 5230,3 у.е.

4.6) С вероятностью 0,954 определим ошибку выборки для доли рабочих цеха № 1, имеющих заработную плату менее 500 у.е. Укажем пределы возможных значений этих показателей в генеральной совокупности.

Итак, из общего числа работников цеха № 1, отобрали  рабочих, у которых заработная плата менее 500у.е. Их число составляет 10 (по таблице 1.1.) Это означает, что доля таких рабочих в выборочной совокупности  составляет:  или 25,0%.

Тогда средняя ошибка выборки для доли  будет составлять:

или(4.4)

4.7)Коэффициент доверия t при заданной вероятности 0,954 равняется 2. Тогда граничная ошибка выборки при вероятности 0,954 для доли

 составляет:

                                                                        (4.5)

Итак, доля рабочих цеха № 1, у которых заработная плата менее 500 у.е. во всей генеральной совокупности составляет:

                                                                                    (4.6)

а это означает, что:

                                

   или

Выводы: С вероятностью 0,954  можно утверждать, что доля рабочих цеха № 1, у которых заработная плата менее 500 у.е. в генеральной совокупности находится в пределах от 12,0% до 38,0%.

4.7) Определим какая вероятность того, что доля рабочих, имеющих заработную плату до 500 у.е., в генеральной совокупности не превысит 30%.

Итак, допустим, что доля рабочих, имеющих заработную плату до 500у.е. в генеральной совокупности не превысит 30%  

Граничная ошибка выборки для доли составляет: 

А средняя ошибка для доли составляет

Определим коэффициент доверия t :

     Тогда:                                   

По таблице Лапласа определим, что вероятность при коэффициенте t=4,615 составляет 0,999965

Выводы: с вероятностью 0,999965 доля рабочих, имеющих заработную плату до 500 у.е., в генеральной совокупности не превысит 30%.

5. Определим количественную взаимосвязь между признаками: 

5.1. С помощью графического метода определим форму связи между производственным стажем  и заработной платой рабочих цеха № 1 с № 21 по № 40 включительно (п=20).

Сущность графического метода заключается в построении поля корреляции, которое представляет собой точечный график, для построения которого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают значения факториального признака, а по оси ординат - результативного. По тому как располагаются точки, судят о наличии и форме связи.

В данном случае производственный стаж будет факториальным признаком, а заработная плата - результативным, т.к. она зависит от производственного стажа (выслуги).

Изобразим эту взаимосвязь на рисунке 5.1.

Рис.5.1. Корреляционное поле и теоретическая линия регрессии зависимости производственного стажа рабочих  цеха № 1 от заработной платы

По графику 5.1 можно определить, что связь стохастическая, т.к. каждому значению факториального признака (х), соответствует некоторое множество значений результативного признака (у).

Корреляционная связь между признаками проявляется в том, что при изменении признака (х) на единицу изменяется средняя величина признака (у). В данном случае связь линейная прямая, т.к. с возрастанием производственного стажа (х) увеличивается заработная плата (у).

5.2. Вычислим параметры уравнения регрессии, характеризующие зависимость между производственным стажем и заработной платой рабочих.

Из рисунка 5.1. видно, что связь между производственным стажем и заработной платой рабочих прямая, значит она выражается уравнением прямой:                                                   ,                                     (5.1)

 где  - выровненные (теоретические) значения результативного признака (ставка);

 - факторный признак (срок выдачи кредита);

 - параметры уравнения регрессии.

Параметр а₀ - показывает уровень заработной платы на который влияют другие факторы, которые в данном случае не рассматриваются.

Параметр а₁ (коэффициент регрессии) - показывает на сколько в среднем изменяется результативный признак (у) при увеличении факториального признака (х) на единицу.

Параметры находят из системы нормальных уравнений

         Тогда расчет  коэффициентов  будет иметь вид:

                                                                                              (5.2)

                                                                                                           (5.3)

где: - выборочная дисперсия признака х;

Составим вспомогательную таблицу 5.1, в которой укажем все промежуточные расчеты.

Таблица 5.1.

Рабочая таблица расчета промежуточных данных для определения линейного коэффициента корреляции и значений уравнения регрессии

Произведем все необходимы промежуточные расчеты:

;            

;          

;

;             

;

;         

Найдем значения коэффициентов регрессии по формулам 5.2. и 5.3.:

         На основе выборочного уравнения регрессии  получим явный вид  зависимости производственного стажа рабочих  цеха № 1 от заработной платы  

Параметр а₀ представляет собой теоретическое значение результативного признака при х = 0, и показывает влияние других факторов на результативный.

Параметр а1 - коэффициент регрессии - показывает, на сколько в среднем изменяется значение признака у при увеличении значения признака х на единицу. В данном примере при повышении производственного стажа рабочих цеха № 1 на 1 полный год зарплата в среднем повышается на 4,7756 у.е. Расчет выровненного ряда указан в таблице 5.1.

По полученным величинам составляем теоретическую линию регрессии, характеризующую форму корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Рис.5.2. Графическое изображение зависимости производственного стажа рабочих  цеха № 1 от заработной платы

5.3.Определим степень тесноты связи между рассматриваемыми признаками.

Тесноту связи в случае линейной зависимости определим на основе линейного коэффициента корреляции К.Пирсона:

                                                                                  (5.4)

Тогда:

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от-1 до +1. При этом знак указывает на направление связи, а величина коэффициента, взятая по модулю - на тесноту связи.

Выводы: рассчитанный нами коэффициент корреляции указывает на прямую тесную (высокую) зависимость между производственным стажем и заработной платой рабочих завода.

Список используемой литературы:

1. Годин А.М. Статистика: Учебник.-9-е изд., перераб. и спр. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2011. – 460 с.

2. Елисеева И.И. Статистика: Учебник для вузов. -  Спб.: Питер, 2010. - 368с.

3. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА - М, 2010 – 416с.

4.   Общая теория статистики: учебник / под ред. М. Г. Назарова. – М.: Омега-Л, 2010. - 410 с.

5.   Понкратова Т.А., Кузнецова О.С. Секлецова О.В. Статистика. Общая теория статистики. Учебное пособие. – кемеровский технологичекий институт пищевой промышленности. – Кемерово, 2011. – 143с.

6.   Салин В.Н. Шпаковский Е.П. Статистика:учебное пособие. – 3-е изд., - М.: КНОРУС, 2014. – 504с.

7.   Статистика: учебное пособие / Харченко Л.П., Долгренкова В.Г., Ионин В.Г. и др.; под ред. к.э.н. Ионина. – М.: МНФРА-М, 2012 – 384с.

8.   Статистика. Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой – М.: Издательств Юрайт.; ИД Юрайт, 2011 – 565с.

9.   Статистика финансов: учебник / под ред. М. Г. Назарова. – 6-е изд., стер. – М.: Омега-Л, 2011. - 516 с.

10.Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие. – 2-е изд.перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006.- 416с.