Первый замечательный предел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДРАТСВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ А.И. ГЕРЦЕНА»

Институт педагогики и психологии

Кафедра социальной педагогики

РЕФЕРАТ

По теме:

«Первый замечательный предел»

Студентки дневного отделения

1 курса группы 15-60

Поляковой Валерии Николаевны,

обучающейся по направлению

040400.62 – «Социальная работа»,

профиль «Социальная защита и социальное

обслуживание семей и детей»

Санкт-Петербург

2016

Замечательные пределы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела.

Первый замечательный предел:

Доказательство:

Рассмотрим односторонние пределы   и  

и докажем, что они равны 1.

Пусть  .

Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

 (1)

(где  — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела):

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия