Реферат
Тема «Производная обратной функции и композиции функции»
Работу выполнила
студентка 22 группы
Васильева Анжелика
г.Бологое
Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.
Пусть задана функция , что означает, что каждому числу из некоторого множества поставлено в соответствие число . Получаемые таким образом значения также образуют некоторое множество. Можно поставить задачу в обратную сторону — по заданным значениям найти соответствующие им значения . И если каждому значению ставится в соответствие только одно значение , то говорят, что определена обратная функция, обозначаемая как . Подчеркнем, что , находящаяся в степени, — это всего лишь обозначение для обратной функции, которое вовсе не сводится к дроби . Разумеется, можно использовать и любые другие символы для обозначения обратной функции, например . Очевидно, что функция, обратная к обратной, дает исходную функцию, поэтому и называют взаимно обратными функциями.Если функция только возрастает или только убывает на некотором множестве значений , то на соответствующем множестве значений каждому значению будет соответствовать только одно значение , то есть будет определена обратная функция
.Пример 1.Задана функция . Область определения и область значений функции — вся числовая прямая. Обратная к ней функция будет
.Пример 2.Задана функция . Область определения — вся числовая прямая, а область значений — только неотрицательные значения . Очевидно, что одному и тому же положительному значению будут соответствовать два различных (отличающихся знаком) значения . Таким образом, мы можем определить две обратных функции, каждая из которых будет соответствовать той или иной ветви параболы , то есть обратными будут функции .
Пример.
Найти функцию обратную для .
Решение.
Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим xчерез y(другими словами, решим уравнение относительно x).
- это и есть обратная функция, правда здесь y– аргумент, а x– функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы xи y, будем писать .
Таким образом, и - взаимно обратные функции.
Приведем графическую иллюстрацию взаимно
обратных линейных функций.
Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов).
Теорема о производной обратной функции. Пусть , обратима, – множество значений . Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке . Тогда и .
Доказательство. .
Обозначим . Тогда
Формулы дифференцирования функций.
Дифференцирование функции
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.
Функция имеет производную на интервале или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная существует в каждой точке этого интервала.
Функция имеет в точке бесконечную производную, если в этой точке .
(О непрерывности функции в точке)
Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.
Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.
Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:
где - число, не зависящее от , - б.м. функция при .
(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)
Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в этой точке конечную производную.
Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.