Волновые уравнения

Вывод уравнения колебания в электрических проводах.

Электрический ток в проводах характеризуется величиной [pic] и напряжением
[pic] которые зависят от координат Х точки провода и от времени t.
Рассмотрим элемент провода ?Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ?Х равно

[pic]-[pic].Это падение напряжения складывается из омического, равного
[pic] и индуктивного, равного [pic] Итак
[pic] где R и L –сопротивление и коэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минус взят потому, что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ?Х, получим уравнение
[pic]
Далее разность токов, выходящего из элемента ?Х за время ?t , будет
[pic]
Она расходуется на зарядку элемента, равную [pic] и на утечку через боковую поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную [pic]
Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения
[pic]
Сократим на [pic]
[pic]
Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим систему уравнений
[pic]
Из этой системы уравнений можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию[pic], и уравнение, содержащее только искомую функцию [pic].
Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2) продифференцируем по t и умножим их на С.
[pic]
[pic]
Аналогичным образом получим уравнение для определения [pic]
[pic]

[pic]
Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:
[pic]
Исходя из физических условий формулируются граничные и начальные условия задачи.

Навоийский Государственный горный институт

Горный факультет

Кафедра «Высшей математики»

Волновые уравнения

Подготовил: студент 2-го курса группы 20-02 ГД

Дерюга А.М.

Навоий 2004 г.