Теорема Пирсона об оптимальных критических областях

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Экономико-Аналитический Институт

Реферат по теории рисков на тему:

«Теорема Пирсона об оптимальных критических областях»

Выполнила: студентка

4 курса, группы У7-712,

Цехоня Татьяна Андреевна

Москва – 2012 год

Для двух простых конкурирующих гипотез Н и Н имеет место теорема Пирсона, которая звучит так:

Оптимальной критической областью для гипотезы Н при выбранном значении вероятности ошибки первого рода α₁ является область, определяемая неравенством:

p_H (x₁,x₂,…,x_n )  _≥  C p_H (x₁,x₂,…,x_n) ,

где:  p_H (x₁,x₂,…,x_n)  – плотность распределения выборочного вектора в условиях справедливости Н,

p_H (x₁,x₂,…,x_n)   – плотность распределения выборочного вектора в условиях справедливости Н,

С – константа, определяющая вероятности ошибок первого и второго рода; определяется из уравнения ψ(С) = α_1.

Действительно, если константа С выбрана, то критическая область W полностью определена, поэтому

   α₁ = ∫ p_H (x₁,x₂,…,x_n) dx₁…dx_n  ,

^W

   α₂  = ∫ p_H (x₁,x₂,…,x_n) dx₁…dx_n .

^W

Наличие второй гипотезы позволяет ввести критерий оптимальности – вероятность ошибки второго рода. Критерий оптимальности может быть использован только при рассмотрении двух конкурирующих гипотез.

Среди всех возможных критических областей размера α₁ существует оптимальная критическая область, для которой вероятность ошибки второго рода минимальна. Ошибка второго рода – попасть в вероятность гипотезы Н.

Если выполняется неравенство, приведенное выше,  тогда имеет место попадание в критическую область и наоборот, если неравенство не выполняется. В критической области отвергаем гипотезу Н и принимаем Н.

У теоремы Пирсона существуют три главных недостатка:

1. Нет обоснованного выбора α₁ и α₂ – т.е. нет аналитического способа нахождения компромисса при выборе ошибок первого и второго рода;

2. Проверяются только простые гипотезы – т.е. нет возможности проверять сложные параметрические гипотезы, поскольку не определен закон распределения результатов наблюдения (неизвестен параметр закона);

3. Проверяются только две конкурирующие гипотезы – т.е. неясно, как проверять несколько даже простых конкурирующих гипотез.

Существуют также методы устранения этих недостатков.

Второй недостаток устраняется с помощью вальдовской редукции сложной параметрической гипотезы к простой. Вальдовская редукция – это усредненный  по параметру закон распределения. Однако следуют отметить, что поиск закона распределения неизвестного параметра является некорректным.

Первый недостаток – неопределенность в выборе компромисса между α₁ и α₂  может быть устранен, если ввести единый критерий оптимальности статистического теста.  Критерий оптимальности нужен тогда, когда имеется множество равноправных решений, таких, когда нельзя предпочесть одно решение.

Чтобы был устранен третий недостаток, и стало возможным проверять многие простые конкурирующие параметрические гипотезы, нужно разбить выборочное пространство на столько частей, сколько конкурирующих гипотез. Это разбиение называется – решающей функцией. Использование критерия оптимальности позволяет проводить проверку многих простых конкурирующих параметрических гипотез H₁, Н₂,…Н_k тогда, когда известны вероятности р₁, р₂,…,р_k их появления.