Синтез следящей системы автоматического управления

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

Институт транспортной техники и систем управления

Кафедра «Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте»

Курсовой проект на тему:

«Синтез следящей системы автоматического управления»

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Выполнил: ст. гр. ТСА-312

Харина М.М.

Проверил: проф. Шаманов В.И.

Москва 2014

СОДЕРЖАНИЕ

    ЗАДАНИЕ КУРСОВОГО ПРОЕКТА……………………………………………

1.                Постановка задачи синтеза……………………………………………..…….

2.                Исходные данные и технические требования к         системе……………...

3.                Функциональная схема сау……………………………………...……........

4.                Структурная схема сау………………………………………...............……

5.                Определение минимального допустимого коэффициента усиления системы…………………………………………………………………………..…

6.                Предварительное определение устойчивости проектируемой системы……………………………………………………………………..……....

7.                Построение ЛАЧХ корректирующего устройства и       выбор его схемы…………………………………..…………….……………………...……....

8.                Построение ЛФЧХ скорректированной системы….............................…...

9.                Определение переходной функции скорректированной системы…….…

10.            Определение показателей качества переходного процесса скорректированной системы………………..……………………………………..

11.            Определение устойчивости скорректированной системы с         помощью критерия Гурвица…………………………………………………………..…..….

12.            Определение устойчивости скорректированной      системы с помощью критерия Михайлова………....................................................................
..………..

13.            Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста….......

14. Определение запаса устойчивости скорректированной системы…………..

Выводы………………………………………………………...……………...…

список использованной литературы………………...……………..

Задание курсового проекта

1.    Сформулировать поставленную задачу и привести исходные данные.

2.    Используя приборы и устройства, указанные в задании, составить функциональную схему системы автоматического управления (САУ).

3.    Составить структурную схему САУ, определить передаточную функцию системы.

4.    Выполнить расчет необходимого коэффициента передачи системы, исходя из за­данной статистической ошибки регулирования.

5.    Провести предварительный расчет устойчивости системы с помощью критерия Вышнеградского.

6.    По заданным техническим требованиям к системе выполнить синтез корректирующего устройства. Для этого для разомкнутой следящей системы на одной координатной логарифмической плоскости построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) неизменяемой (разомкнутой) части системы, рекомендуемую (желаемую) ЛАЧХ, ЛАЧХ корректирующего звена.

7.    Определить передаточную функцию разомкнутой и замкнутой скорректированной системы и на ее основе построить ЛАЧХ и логарифмическую фазо-частотную характеристику (ЛФЧХ) скорректированной системы.

8.    Построить переходную функцию системы и определить фактические показатели качества скорректированной системы.

9.    Проверить устойчивость скорректированной системы с помощью алгебраического критерия Гурвица, частотных критериев устой­чивости Михайлова и Найквиста.

1.      ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

При исследовании автоматических систем приходится решать две задачи: анализа и синтеза.

Задача анализа

По заданной схеме следящей САУ требуется рассчитать переходные процессы, возникающие в ней и оценить её устойчивость.

Задача синтеза

По заданным переходным процессам и их основным показателям надо найти систему управления, которая реализует эти заданные процессы.

Обе задачи имеют много общего и в значительной мере связаны друг с другом. Однако вторая задача существенно сложнее первой. Трудности решения задачи синтеза проистекают от нескольких причин.

Решение задачи синтеза не является однозначным, т.к. одни и те же требования, предъявляемые к САУ, можно удовлетворить различными путями. Или иначе, имеется множество САУ (в общем случае имеющие даже различные физические принципы работы) с помощью которых можно реализовать заданные переходные характеристики.

К виду переходного процесса могут предъявляться различные требования, и эти требования могут противоречить друг другу. Поэтому при выборе структуры и параметров проектируемой системы возникает необходимость компромиссного решения задачи, что усложняет решение задач вопросов синтеза. Может оказаться, что расчетная схема системы технически неосуществима.

В силу указанных причин при синтезе систем автоматики часто ставятся ограничения, что облегчает решение задачи синтеза.

Обычно считается, что определенная часть системы задана (что на практике, как правило, и имеет место). Применительно к заданной неизменяемой части САУ требуется выбрать общую структурную схему и значения параметров дополнительной части системы. Естественно, что дополнительная изменяемая часть системы должна быть технически осуществима.

Нередко задача синтеза сужается еще больше. Так, например, при заданной основной схеме регулирования дополнительная (изменяемая, корректирующая) часть схемы, вследствие ее простой технической осуществимости, должна состоять только из каких-либо стандартных дополнительных корректирующих элементов. Например, в электрических системах — из пассивных четырехполюсников. Поэтому в таких довольно частых случаях, ограничиваются лишь определением вида и параметров дополнительной (корректирующей или стабилизирующей) части схемы, которая в сочетании с основной частью системы обеспечивала бы требуемые динамические характеристики системы в целом.

Иначе говоря, чаще всего рассматривают не синтез систем в целом, а лишь синтез корректирующих устройств, входящих в их состав.

Именно эта задача и решается в данном курсовом проекте.

Решение задачи синтеза распадается на два основных этапа.

На первом этапе по заданным показателям качества регулирования ищут либо передаточную функцию, либо частотную функцию, либо дифференциальные уравнения корректирующей цепи, при которой реализуется заданные показатели качества.

Второй этап — нахождение по определенной на первом этапе передаточной функции (или частотной функции) схемы корректирующей цепи.

2. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ

ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМЕ

Исходные данные САУ.

В дальнейшем конкретные расчеты будут выполнены для варианта №25:

k_c = 9 В/град - коэффициент усиления сельсина;

k_y =7 - коэффициент усиления магнитного усилителя;

Т_у = 0,08 с - постоянная времени магнитного усилителя;

k_ДВ = 19 рад/(В×с) - коэффициент усиления двигателя;

T_ДВ =0,1 с - постоянная времени двигателя;

i_p = 2501/с - коэффициент передачи редуктора.

Технические данные к системе.

Вариант № 25:

n_вх = 30 об/мин - номинальная скорость вращения входного вала;

x_V= 2град - скоростная ошибка;

t_p = 0,75 с - время регулирования;

s =33% - перерегулирование.

2.     ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА САУ

Функциональная схема следящей системы, которую необходимо синтезировать приведена на рис.1.

Рис.1. Функциональная схема следящей системы

СД - сельсин датчик;

СП - сельсин приемник;

I - обмотки статора СД и СП;

II - обмотки ротора СД и СП;

Р - редуктора преобразует быстрое вращение двигателя в медленное, но с большим усилением.

Рассматриваемая система является следящей. При повороте пер­вичного вала на угол a_ВХ на этот же угол поворачивается сидящая на этом валу вторичная обмотка СП. В результате возникает рассогласо­вание между роторными обмотками СД и СП. На первичной обмотке (об­мотке статора) СД возникает ЭДС. Эта ЭДС усиливается с помощью магнитного усилителя и подается на обмотку статора двигателя, ко­торый начинает вращаться и через редуктор Р вращает вторичную об­мотку СП. Когда эта обмотка повернется на такой же угол, что и ро­торная обмотка СД (т.е. Da_ВЫХ = Da_ВХ), то роторные обмотки СП и СД окажутся в одинаковых положениях, напряжение на первичной обмотке СП станет равным нулю и вращение прекратится. В идеальном случае Da_ВЫХ = Da_ВХ.

4. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА САУ

Структурную схему САУ получаем исходя из следующих соображе­ний.

Сельсин рассматривается как линейный усилитель с коэффициентом усиления k_c = 9  В/град.

Магнитный усилитель представляет собой инерционное звено. Передаточная функция инерционного звена:

,

Двигатель представляет собой реальное интегрирующее звено. Передаточная функция интегрирующего звена:

Структурная схема САУ приведена на рис.2.

Рис.2 Структурная схема САУ

a_ВХ  - угол поворота СД (первого вала) ;

a_ВЫХ - угол поворота СП (вторичного вала);

- элемент сравнения (снизу черное, т.к. отрицательная обратная связь;

Wс(р) — пропорциональное (безынерционное) звено (передаточная функция сельсина);

Wу(р) — апериодическое (инерционное) звено (передаточная функция усилителя);

Wдв(р) — интегрирующее инерционное звено (передаточная функция двигателя);

Wр(р) — пропорциональное (безынерционное) звено (передаточная функция редуктора).

Имеем структурную схему следящей системы с единичной обратной связью. Так как W_с(р), W_у(р), W_дв(р), W_р(р) включены последовательно, то можно все эти звенья заменить одним звеном с передаточной функцией

W_н(р) = W_с(р)W_у(р)W_дв(р)W_р(р).

Получим эквивалентную структурную схему неизменяемой части следящей системы, изображенной на рис. 3.

Рис. 3. Эквивалентная структурная схема неизменяемой части САУ

Так как:

Коэффициент передачи системы составляет:

 - номинальная скорость вращения входного вала (т.е. СД).

Передаточная функция замкнутой системы:

т.к. мы имеем последовательное включение звеньев, то К_ОС (р)=1 и то­гда это выражение примет вид:

 

Окончательно можно записать:

Представим знаменатель W_З(р) в виде полинома:

Тогда:

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМАЛЬНОГО ДОПУСТИМОГО КОЭФФИЦИЕНТА УСИЛЕНИЯ СИСТЕМЫ

Так как x_V и V - заданы, то определим минимальное значение ко­эффициента усиления разомкнутой системы, при котором выполняется требуемый показатель качества x_V = 8 град, при скорости вращения входного вала  n_вх = 60  град/с.

 по расчету k_н =274 1/с.

 Так как k_min < k_н , то подключение дополнительного усилителя не требуется.

6. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ      УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЕКТИРУЕМОЙ  СИСТЕМЫ

Расчет устойчивости системы проведем с помощью алгебраическо­го критерия устойчивости Вышнеградского,  для которого записываем переда­точную функцию:

Характеристический полином имеет вид:

По критерию Н.А. Вышнеградского: если характеристический полином имеет вид:

то система третьего порядка устойчива, если

В нашем случае:

 , все больше нуля - первое условие выполняется. Второе условие выполнится если:

(0,1+0,08) 10,1  0,08  274 ;

0,18   2,192

 Следовательно, проектируемая система не устойчива.

7. ПОСТРОЕНИЕ ЛАЧХ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА И ВЫБОР ЕГО СХЕМЫ

Для системы с заданным максимальным перерегулированием и вре­менем переходного процесса исходная передаточная характеристика имеет вид:

где

k_н =274   1/c;

Т_У = 0,08  с;

Т_ДВ = 0,1  с.

Система должна обладать астатизмом 1-го порядка (в состав пе­редаточной функции входит одно интегрирующее звено).

Для построения желаемой ЛАЧХ нужно знать частоту среза w_С, которая определяется следующим образом w_С=Cp/ t_p :

1. по кривой C = f(s) (рис. 13а [1]), зная, что s = 33 %, находим:

C =4;

2. зная t_p=1,1 c, находим минимальную частоту среза:

3. выбираем частоту среза w_С > w_Сmin, w_С  =1/Tу=12,5  с^-1 .

Так же для построения желаемой ЛАЧХ, следует знать ординату L_M, которая определяется при заданном значении s =33 % :

L_M  = 12,5 дБ.

Построение ЛАЧХ корректирующего устройства (рис. 4) производится в следующем порядке:

1. Сначала строят асимптотическую ЛАЧХ неизменяемой части систе­мы:

исходное выражение :

а) через точку с координатамих = w = 1 и у = 20×lg k = 20×lg274= 48,8 проводят линию -20 дБ/дек;

б) в точке w_ДВ  = 1/Т_ДВ = 10 с^-1, линия меняет свой наклон на -40 дБ/дек и идет до пересечения с точкой  1/Т_У = 12,5 с^-1;

в) далее линия меняет наклон на -60дБ/дек.

2. Желаемая ЛАЧХ (рис.4) строится следующим образом:

а) из точки w_С  = 16,7  с^-1 проводят линию с наклоном -20 дБ/дек в обе стороны;

б) в точках пересечения с асимптотамиL_М =±12,5 дБ прямая поменяет свой наклон на -40 дБ/дек и должна пересечься с ЛАЧХ неизменяемой час­ти;

в) после пересечения с ЛАЧХ неизменяемой части в отрицательной об­ласти она примет значение -60 дБ/дек, а в положительной -20 дБ/дек.

3. ЛАЧХ неизменяемой части складывается с желаемой ЛАЧХ и полу­чается ЛАЧХ корректирующего звена, который будет иметь прямолиней­ный участок.

4. По ЛАЧХ корректирующего звена по справочнику определяется схема корректирующего устройства .

По данным рекомендациям построим ЛАЧХ корректирующего звена .

По характеру ЛАЧХ корректирующего звена, определим его вид .

Для выбранного корректирующего звена передаточная функция

Значения τ₁, τ₂, T_a, T_b следует определять по ЛАЧХ корректиру-
ющего звена (см. рис. 4).

Из ЛАЧХ определим, что:

Т_а =7,143; Т_в = 0,0033; t₁ =0,3125; t₂ = 0,0625.

Передаточная функция разомкнутой корректирующей системы может быть записана следующим образом:

Электрическая схема корректирующего звена приве­дена на рис. 5.

Для определения параметров элементов корректирующего зве-
на R₁, R₂, С₁, С₂ можно использовать независимые уравнения:

τ₁ = R₁C₁; τ₂ = R₂C₂; T_a +T_b =R₁C₁+( R₁+R₂) C₂
.

Откуда R1=100 кОм, R2=923,013Ом, С1=3,125 мкФ, С2=67,7мкФ.

Рис. 5 Схема корректирующего устройства

Так же по этим данным начертим логарифмическую фазо-частотную характеристику (ЛФЧХ)  (рис. 6):

8.  ПОСТРОЕНИЕ ЛФЧХ СКОРРЕКТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ

Произведем  перемножение  в  знаменателе  и  найдем  характеристический  полином D(jω).

.

Подставляем Т_у = 0,011 с;   Т_а = 11,1 с;   Т_b = 0,011 с;  τ₁ = 1 с; k_н = 69.

.

.

Подставим p = jω.

,

тогда

Таблица 1

w	0,01	0,09	0,1	1	2	5	10	50	100	200
j	-95,88	-130,52	-133,04	-136,83	-127,72	-132,31	-149,28	-199,65	-223,17	-243,34

500	1000
-258,92	-264,47

9.   ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ СКОРРЕКТРОВАННОЙ СИСТЕМЫ

Синтез САУ, проведенный приближенными методами на основе логарифмических амплитудно-фазовых характеристик, завершают выяснением свойств скорректированной системы, установлением соответствия между фактическим перерегулированием и временем регулирования и их заданными величинами. С этой целью методом трапеций на основе вещественной части частотной характеристики замкнутой системы от частоты определяют переходную функцию замкнутой системы, т.е. ее реакцию на единичное воздействие со стороны задатчика.

Частотный метод построения переходного процесса основывается на количественной связи между временными и частотными характеристиками, которую можно выразить формулой

,

где P(ω) - вещественная частотная характеристика замкнутой системы.

1.                Построение переходного процесса.

Для определения числовых значений показателей переходного процесса необходимо иметь его кривую, которую можно получить в результате расчетов.

Частотный метод построения переходного процесса основывается на количественной связи между временными и частотными характеристиками.

Вещественную частотную характеристику замкнутой системы получают в виде графика с использованием Р-номограммы [1]. На основании ЛАЧХ и ЛФЧХ находим различные значения амплитуды и фазы от частоты (табл. 2) и строим график Р(w), он представлен на рис.7

Таблица 2

L(w)	w	j	P(w)
17	1	-136	1,075
4	5	-132	1,15
2,5	6	-136	1,025
-1,3	10	-150	0,1
-4	15	-161	-1
-7	20	-170	-0,8
-8	25	-178	-0,7
-9	30	-183	-0,5
-10,4	35	-188	-0,5
-10,7	40	-192	-0,5
12	45	-196	-0,4
13	50	-200	-0,3
15	55	-203	-0,3
15	60	-206	-0,2
16	65	-209	-0,2
16,5	70	-211	-0,1
19	90	-220	-0,1
28	105	-225	-0,05

2.     Построение h(t).

По известному графику P(w)можно получить переходную функцию h(t) по предложенному В.В. Солодовниковым приближенному графоаналитическому методу построения кривой переходного процесса.

Для этого аппроксимируем P(w) трапециями, хотя бы одно основание которых было на оси ординат. При этом получается 6 геометрических фигур: абв, вгде, еджз, зжий, йклм, млно.

Для каждой трапеции определим ее параметры, по графику найдем отношение c_i = w_ai/w_Пi и высоту  P_i. Величину P_i следует считать положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной в противоположном случае полученные значения приведены в таблице 3.

Таблица 3

Трапеция	wa	wn	c	P
абв	0	5	0	-0,15
вгде	7	8	0,88	0,45
еджз	8	13	0,62	1,31
зжий	13	16	0,82	0,42
йклм	17	43	0,40	-0,63
млно	43	103	0,43	-0,41

Для каждого значения c_i = w_ai/w_Пi, по Приложению 3 [1] определим             t и h(t ) (табл. 4), а затем вычислим значения текущего времени t  (табл. 5) и составляющей h_i(табл. 6):

t = t/w_Пi, h_i = P_ih(t).

Построим графики составляющих h₁(t) переходной характеристики, и суммарную h_СУМ(t) (рис. 8) результаты расчетов приведем в таблице 6.

Таблица 4

Продолжение  таблицы № 4

χ    τ	0,0	0,9	0,6	0,8	0,4	0,45
13,5	0,950	0,954	1,010	0,968	0,984	0,989
14,0	0,952	0,965	1,008	0,965	0,985	0,991
14,5	0,954	0,981	1,005	0,969	0,988	0,996
15,0	0,956	1,001	1,002	0,978	0,991	1,000
15,5	0,959	1,019	1,001	0,991	0,996	1,004
16,0	0,961	1,031	1,000	1,003	0,998	1,007
16,5	0,964	1,036	1,001	1,014	1,002	1,009
17,0	0,965	1,032	1,000	1,020	1,005	1,010
17,5	0,966	1,023	0,997	1,023	1,005	1,010
18,0	0,996	1,008	0,997	1,020	1,008	1,010
18,5	0,966	0,993	0,995	1,014	1,007	1,009
19,0	0,967	0,981	0,993	1,006	1,006	1,006
19,5	0,967	0,973	0,992	0,998	1,005	1,004
20,0	0,967	0,972	0,992	0,991	1,005	1,002
20,5	0,968	0,974	0,994	0,986	1,004	1,001
21,0	0,968	0,981	0,997	0,983	1,004	1,001
21,5	0,969	0,997	1,000	0,987	1,004	1,000
22,0	0,971	1,012	1,000	0,991	1,004	0,999
22,5	0,973	1,022	1,004	0,998	1,004	0,999
23,0	0,974	1,025	1,006	1,002	1;003	0,998
23,5	0,975	1,023	1,007	1,007	1,003	0,998
24,0	0,975	1,015	1,008	1,008	1,002	0,997
24,5	0,975	1,005	1,006	1,008	1,001	0,997
25,0	0,975	0,991	1,004	1,005	1,000	0,996
25,5	0,975	0,986	1,002	1,004	0,998	0,996
26,0	0,975	0,984	1,000	1,002	0,997	0,996

Таблица 5

t1	h1	t2	h2	t3	h3	t4	h4	t5	h5	t6	h6
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,100	-0,024	0,063	0,134	0,038	0,332	0,031	0,113	0,012	-0,134	0,005	-0,092
0,200	-0,047	0,125	0,259	0,077	0,637	0,063	0,219	0,023	-0,259	0,010	-0,179
0,300	-0,067	0,188	0,366	0,115	0,918	0,094	0,310	0,035	-0,370	0,015	-0,258
0,400	-0,086	0,250	0,446	0,154	1,141	0,125	0,382	0,047	-0,472	0,019	-0,324
0,500	-0,101	0,313	0,497	0,192	1,313	0,156	0,434	0,058	-0,550	0,024	-0,377
0,600	-0,113	0,375	0,526	0,231	1,430	0,188	0,462	0,070	-0,608	0,029	-0,415
0,700	-0,122	0,438	0,529	0,269	1,489	0,219	0,470	0,081	-0,644	0,034	-0,438
0,800	-0,129	0,500	0,513	0,308	1,505	0,250	0,462	0,093	-0,666	0,039	-0,451
0,900	-0,132	0,563	0,488	0,346	1,483	0,281	0,444	0,105	-0,672	0,044	-0,452
1,000	-0,134	0,625	0,459	0,385	1,439	0,313	0,421	0,116	-0,667	0,049	-0,447
1,100	-0,135	0,688	0,433	0,423	1,391	0,344	0,398	0,128	-0,655	0,053	-0,438
1,200	-0,135	0,750	0,415	0,462	1,327	0,375	0,380	0,140	-0,641	0,058	-0,425
1,300	-0,136	0,813	0,408	0,500	1,277	0,406	0,368	0,151	-0,626	0,063	-0,413
1,400	-0,136	0,875	0,409	0,538	1,244	0,438	0,364	0,163	-0,614	0,068	-0,404
1,500	-0,136	0,938	0,420	0,577	1,227	0,469	0,368	0,174	-0,603	0,073	-0,396
1,600	-0,137	1,000	0,437	0,615	1,223	0,500	0,378	0,186	-0,599	0,078	-0,392
1,700	-0,138	1,063	0,453	0,654	1,232	0,531	0,390	0,198	-0,595	0,083	-0,391
1,800	-0,139	1,125	0,468	0,692	1,249	0,563	0,402	0,209	-0,595	0,087	-0,391
1,900	-0,140	1,188	0,477	0,731	1,274	0,594	0,413	0,221	-0,596	0,092	-0,393
2,000	-0,141	1,250	0,478	0,769	1,291	0,625	0,420	0,233	-0,596	0,097	-0,395
2,100	-0,142	1,313	0,475	0,808	1,309	0,656	0,422	0,244	-0,596	0,102	-0,396
2,200	-0,142	1,375	0,465	0,846	1,318	0,688	0,419	0,256	-0,596	0,107	-0,396
2,300	-0,142	1,438	0,455	0,885	1,322	0,719	0,414	0,267	-0,595	0,112	-0,396
2,400	-0,143	1,500	0,443	0,923	1,325	0,750	0,406	0,279	-0,593	0,117	-0,396
2,500	-0,143	1,563	0,434	0,962	1,320	0,781	0,398	0,291	-0,592	0,121	-0,396
2,600	-0,143	1,625	0,430	1,000	1,316	0,813	0,392	0,302	-0,591	0,126	-0,396
2,700	-0,143	1,688	0,429	1,038	1,313	0,844	0,387	0,314	-0,590	0,131	-0,396
2,800	-0,143	1,750	0,434	1,077	1,310	0,875	0,386	0,326	-0,591	0,136	-0,396
2,900	-0,143	1,813	0,441	1,115	1,307	0,906	0,388	0,337	-0,593	0,141	-0,398
3,000	-0,143	1,875	0,450	1,154	1,303	0,938	0,391	0,349	-0,595	0,146	-0,400
3,100	-0,144	1,938	0,459	1,192	1,301	0,969	0,396	0,360	-0,598	0,150	-0,402
3,200	-0,144	2,000	0,464	1,231	1,300	1,000	0,401	0,372	-0,599	0,155	-0,403
3,300	-0,145	2,063	0,466	1,269	1,301	1,031	0,406	0,384	-0,601	0,160	-0,404
3,400	-0,145	2,125	0,464	1,308	1,300	1,063	0,408	0,395	-0,603	0,165	-0,404
3,500	-0,145	2,188	0,460	1,346	1,296	1,094	0,409	0,407	-0,603	0,170	-0,404
3,600	-0,149	2,250	0,454	1,385	1,296	1,125	0,408	0,419	-0,605	0,175	-0,404
3,700	-0,145	2,313	0,447	1,423	1,294	1,156	0,406	0,430	-0,604	0,180	-0,404
3,800	-0,145	2,375	0,441	1,462	1,291	1,188	0,402	0,442	-0,604	0,184	-0,402
3,900	-0,145	2,438	0,438	1,500	1,290	1,219	0,399	0,453	-0,603	0,189	-0,402
4,000	-0,145	2,500	0,437	1,538	1,290	1,250	0,396	0,465	-0,603	0,194	-0,401
4,100	-0,145	2,563	0,438	1,577	1,292	1,281	0,394	0,477	-0,602	0,199	-0,400
4,200	-0,145	2,625	0,441	1,615	1,296	1,313	0,393	0,488	-0,602	0,204	-0,400
4,300	-0,145	2,688	0,449	1,654	1,300	1,344	0,395	0,500	-0,602	0,209	-0,400
4,400	-0,146	2,750	0,455	1,692	1,300	1,375	0,396	0,512	-0,602	0,214	-0,400
4,500	-0,146	2,813	0,460	1,731	1,305	1,406	0,399	0,523	-0,602	0,218	-0,400

10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА СКОРРЕКТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ

По графику h(t) скорректированной системы (рис. 9) необходимо определить основные показатели качества переходного процесса скорректированной системы – время регулирования t_р, относительное перерегулирование σ, частоту колебаний ω (период колебаний Т), число колебаний N за время регулирования.

период колебаний Т=0,35 с, число колебаний  N=0,5

Относительное перерегулирование:

Следовательно относительная величина перерегулирования увеличилась по сравнению с заданной, а значит время регулирования должно уменьшится. Чтобы определить время регулирования нужно знать e. Теоретически считается, что переходной процесс длится бесконечно, но на практике считают, что он заканчивается, как только отклонение регулируемой величины от нового ее установившегося значения не будут превышать нормы:

.

Тогда время регулирования t_р = 0,66 с, что меньше по заданию.  

11. Определение устойчивости скорректированной системы с         помощью критерия Гурвица

Для определения устойчивости систем любого порядка применяют алгебраический критерий А. Гурвица: система будет устойчивой, если определитель Гурвица, все его диагональные миноры и первый коэффициент характеристического уравнения а₀ положительны:

а₀ >0; Δ₁>0; Δ₂>0;…; Δ_n>0.

Определитель Гурвица строят по коэффициентам характеристического уравнения:

.

Существует правило: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. Максимальный индекс коэффициента n (n – порядок характеристического уравнения), минимальный нуль. Столбец заполняется до положенного числа n элементов нулями.

Номер диагонального минора определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляется данный минор.

Для рассматриваемого примера характеристическое уравнение имеет вид

.

Коэффициенты характеристического уравнения:

=0,0134

= 1,344

=11,2

=70

=69

Δ₁= а₁=1,344;

 =14,144;

=865,409;

 

=5,971·10⁴

 

12.          Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Михайлова

Для определения устойчивости систем по критерию А.В. Михайлова следует построить кривую, го­дограф Михайлова, т.е. годограф, который описывает на комплексной плоскости, вектор получаемый из вектора D(р) заменой р на jω (см. рис 10).

Критерий Михайлова формулируется следующим образом [1]: линейная система n-го порядка устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты ω от 0 до +∞ охватывает начало координат и проходит последовательно n квадрантов, повернувшись против часовой стрелки на угол , где n – порядок системы.

Годограф Михайлова строят обычно следующим образом:

1.  Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает вещественную ось. Для этого полагают, что M(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω) получают подстановкой в В(ω) частот, при которых происходит пересечение с вещественной осью.

2. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает мнимую ось. Для этого полагают В(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω) получают подстановкой в M(ω) частот, при которых происходит пересечение с мнимой осью.

Если система устойчива, то полученные частоты должны чередоваться: частоты с ве­щественной осью – ω₁,  ω₃, ω₅ и т.д.; частоты пересечения с мнимой осью – ω₂,  ω₄, ω₆  и т.д. Причем:

ω₂ > ω₁; ω₃ > ω₂; ω₄ > ω₃

Строим годограф Михайлова:

.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает вещественную ось. При этом M(ω)= 0.

;

ω₁ = 0 с^-1; ω₃ = 7,22 с^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₁ и ω₃ в B(ω):

В(ω₁) =69; В(ω₃) = -478,43.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось. При этом B(ω)= 0.

Отбрасывая отрицательные значения корней уравнения (частот), получим:

ω₂ = 2,52 с^-1; ω₄ = 28,8 с^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₂ и ω₄ в M(ω):

M(ω₂) =154,9; M(ω₄) = -30089,3.

Т.к. ω₂ > ω₁; ω₃ > ω₂; ω₄ > ω₃, то система должна быть устойчива. Годограф Михайлова представлен на рис. 10.

Имеем систему 4-го порядка. Годограф Михайлова охватывает начало координат и последовательно прохо­дит 4 квадранта, а вектор D(jω) поворачивается против часовой стрелки на угол  4π/2.

Следовательно, система устойчива.

13. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

ПО КРИТЕРИЮ НАЙКВИСТА

Критерий Г. Найквиста, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ).

Необходимая АФЧХ разомкнутой системы может быть получена следующим образом. В выражении передаточной функции разомкнутой системы W_ск(p) заменяют p на jω и получают уравнение АФЧХ разомкнутой системы W_ск(jω). Чтобы построить АФЧХ, необходимо представить ее состоящей из вещественной и мнимой частей:

,

затем, задаваясь значениями ω от 0 до ∞: ω=0, ω₁, ω₂,… необходимо найти точки [U(0);jV(0)]; [U(ω₁);jV(ω₁)];…, покоторым построить АФЧХ на комплексной плоскости [1].

Если разомкнутая система устойчива или находится или находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывала точку с. координатами (-1;j0)

Для исследования нашей системы на устойчивость по Найквисту, нужно в наше выражение:

вместо р подставить jw, и преобразовать его так, чтобы получилось две части – действительная и мнимая. Расчет такого уравнения с построением графика зависимости мнимой части от реальной произведем на компьютере

Разложим числитель:

 Разложим знаменатель:

Получили действительную и мнимую части:

Re(X)/Y  и  Im(X)/Y

Далее расчет производим на компьютере:

 Как видно из графика (рис. 11)  не вхождение в АФЧХ W(jω) точки (-1, j0) соблюдается. И на частоте среза фаза меньше -3,14. Значит мы получили устойчивую систему.

Все рассмотренные критерии устойчивости оценивают один и тот же факт: имеются ли среди корней характеристического уравнения замкнутой системы корни с положительной вещественной частью.

14.Определение запаса устойчивости скорректированной системы

Для нормального функционирования всякая система автомати­ческого регулирования должна быть достаточно удалена от гра­ницы устойчивости, должна иметь достаточный запас устойчи­вости.

Необходимость этого обусловлена несколькими причинами:

1.   уравнения элементов системы, как правило, идеализированы, при их составлении не учитывают второстепенные факторы;

2.   при линеаризации уравнения погрешности приближения дополнительно увеличиваются;

3.   параметры элементов определяют с некоторой погрешностью;

Следовательно, устойчивая по расчету система в действитель­ности может оказаться неустойчивой.

Запас устойчивости необходим еще и для хорошего качества регулирования.

О запасе устойчивости можно судить, прежде всего, по расположению корней характеристического уравнения системы: чем дальше отстоят они от мнимой оси (в левой полуплоскости), тем больше запас устойчивости.

При синтезе системы выбирают такой запас устойчивости, при котором система функционирует устойчиво и с желаемым качеством переходных процессов.

Количественное определение запаса устойчивости зависит от того, какой критерий устойчивости используют. Однако в прак­тике инженерных расчетов наиболее широко применяют опреде­ление запаса устойчивости на основании критерия Найквиста, по удалению амплитудно-фазовой частотной характеристики разом­кнутой системы от точки с ординатами [-1; j0]. Этот факт оценивают двумя показателями: запасом устойчивости по фазе γ и за­пасом устойчивости по модулю (амплитуде) h.

Для того чтобы система имела запасы устойчивости γ и h, АФЧХ ее разомкнутого контура при удовлетворении критерия устойчивости не должна заходить в часть кольца, заштрихованного на рис.19, а. Эта запретная зона, включающая в себя точку с координатами [-1; j0], ограничена лучами, проведенными из начала осей координат под углами -180° + γ и -180° - γ, и дугами с радиусами 1+H и   1-H, где H — определяется соот­ношением .

Если устойчивость определена по логарифмическим частотным характеристикам, то для обеспечения запасов устойчивости γ и h необходимо, чтобы:

1.     при h ≥ L(ω) ≥ -h фазочастотная характеристика удовлетворяла неравенству -180°+γ≤φ(ω)≤-180°-γ.

2.     при -180°+γ≥φ(ω)≥-180°-γ амплитудно-частотная характеристика удовлетворяла неравенству h≤L(ω)≤-h.

Для абсолютно устойчивой системы запасы устойчивости γ и h определяют так, как показано на рис. 20.

Запас по фазе

γ = 180° + φ(ω_с) = 180°-145°=35°,

где ω_с – частота среза, при которой L(ω_с) = 0; запас по модулю

h = -L (ω_φ) = 7,8 дБ,

где ω_φ - частота, при которой ω (ω_φ) = -180°.

Необходимые значения запасов устойчивости зависят от класса САУ и требований к качеству регулирования. Ориентировочно γ = 30÷60° и h = 6÷20 дБ.

ВЫВОДЫ

В данном курсовом проекте, нами была скорректирована и проверенна на устойчивость САУ. Для этого был выполнен расчет передаточной функции, расчет необходимого коэффициента передачи системы, предварительный расчет устойчивости системы с помощью критерия Вышнеградского, построена ЛАЧХ неизменяемой, желаемой и по ним корректирующего звена.  Были построены ЛФЧХ, переходная функции данной системы. По переходной характеристики скорректированной системы, были определены фактические показатели качества: время регулирования t_р, относительное перерегулирование σ, частоту колебаний ω (период колебаний Т), число колебаний N за время регулирования.

Устойчивость была определена по критериям Вышнеградского, Найквиста, Михайлова, Гурвица.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.                Ю.А. Кравцов, Е.В. Архипов, А.А. Антонов  «Синтез       следящей системы автоматического управления»

2.                Конспект лекций по дисциплине «Теория автоматического управления»