Распределение молекул по абсолютным значениям скоростей

РЕФЕРАТ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: «Физика»

На тему: «Распределение молекул по абсолютным значениям скоростей. Наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная.»

Москва. 2012 г.

Выполнил: ст. 11 ПГ группы                                                      Проверил: преподаватель

Корниенко А. Ю.                                                                              
                         Рябов В. А.

Введение

Распределение Ма́ксвелла — распределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию. Распределение Максвелла также применимо для электронных процессов переноса и других явлений. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. О нем обычно думают как о распределении энергий молекул в газе, но оно может также применяться к распределению скоростей, импульсов, и модуля импульсов молекул. Также оно может быть выражено как дискретное распределение по множеству дискретных уровней энергии, или как непрерывное распределение по некоторому континууму энергии.

Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям. Самым большим достижением Максвелла является теория электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений, выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений.

 

 

 

 

 

 

 

 

Распределение Максвелла

  

Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого акта столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

       В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на Δυ_x, Δυ_y, Δυ_z, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Будем предполагать, что силовые поля на частицы не действуют. Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от υ до υ+Δυ. При этом мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной частицы υ_i, поскольку за столкновениями и движениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность.

       Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей.Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-й составляющей скорости) имеем

тогда

где А₁ – постоянная, равная

       Графическое изображение функции показано на рисунке 1. Видно, что доля молекул со скоростью не равна нулю. При , (в этом физический смысл постоянной А1).

Стр.3

Рис. 1

       Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-компонентам скорости. Очевидно, что и по y- и z-компонентам скорости также можно получить:

       Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x-компонента скорости лежит в интервале от υ_х до υ_х+dυ_х; y-компонента, в интервале от υ_y до υ_y+dυ_y; z-компонента, в интервале от υ_z до υ_z+dυ_z будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности:

где , или

       Формуле можно дать геометрическое истолкование: dn_xyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dυ_x, dυ_y, dυ_z, то есть в объёме dV=dυ_xdυ_ydυ_z(рис. 2), находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.

       Эта величина (dn_xyz) не может зависеть от направления вектора скорости . Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.

Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до υ+dυ по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной dυ и радиусом υ (рис. 3). Этот шаровой слой складывается Стр.4

из тех параллелепипедов, о которых говорилось выше.

       Объём этого шарового слоя

       Общее число молекул в слое

       Отсюда следует закон распределения молекул по абсолютным значениям скоростей Максвелла:

где – доля всех частиц в шаровом слое объема dV, скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ.

       При dυ = 1 получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям:

       Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

       Обозначим: тогда получим:

       График этой функции показан на рисунке 4.

Стр.5

Рис. 4

Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа

       Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.

       График функции распределения Максвелла

приведен на рисунке 5.

Рис. 5

       Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при , имеем ; затем достигает максимума А и далее экспоненциально спадает .

       Величину скорости, на которую приходится максимум зависимости , называют наиболее вероятной скоростью.

       Найдем эту скорость из условия равенства производной .

Стр.6

– наиболее вероятная скорость одной молекулы.

       Для одного моля газа:

       Среднюю квадратичную скорость найдем, используя соотношение :

       Средняя арифметическая скорость:

где – число молекул со скоростью от υ до υ+dυ. Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим:

       Все три скорости незначительно отличаются друг от друга множителем порядка единицы, причем

           

Стр.7

Заключение

  Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул. Вид распределения молекул газа по скоростям для каждого газа зависит от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют. В показателе степени стоит отношение , т.е. кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к (kТ) – средней энергии теплового движения молекул при данной температуре, значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии).

Распределение Максвелла может быть получено при помощи статистической механики. Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе, состоящей из большого количества невзаимодействующих частиц, в которой квантовые эффекты являются незначительными. Так как взаимодействие между молекулами в газе является обычно весьма небольшим, распределение Максвелла даёт довольно хорошее приближение ситуации, существующей в газе.

Источники

1)http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%CC%EE%EB%E5%EA%F3%EB%FF%F0%ED%E0%FF %F4%E8%E7%E8%EA%E0. %D2%E5%F0%EC%EE%E4%E8%ED%E0%EC%E8%EA%E0/02-3.htm

2)http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom2/ch5/texthtml/ch5_4_text.htm

3)http://4xx.zaytsev.net/course-1/Physics/Molecular physics/MOLEC2-2.PDF

4)http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0 - .D0.9D.D0.B0.D0.B8.D0.B1.D0.BE.D0.BB.D0.B5.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.
D1.82.D0.BD.D0.B