Реферат

Тема «Производная обратной функции и композиции функции»

Работу выполнила

студентка  22 группы

                                                                                
            Васильева Анжелика

г.Бологое

Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.

Пусть задана функция , что означает, что каждому числу  из некоторого множества поставлено в соответствие число . Получаемые таким образом значения  также образуют некоторое множество. Можно поставить задачу в обратную сторону — по заданным значениям  найти соответствующие им значения . И если каждому значению  ставится в соответствие только одно значение , то говорят, что определена обратная функция, обозначаемая как . Подчеркнем, что , находящаяся в степени, — это всего лишь обозначение для обратной функции, которое вовсе не сводится к дроби . Разумеется, можно использовать и любые другие символы для обозначения обратной функции, например . Очевидно, что функция, обратная к обратной, дает исходную функцию, поэтому  и  называют взаимно обратными функциями.Если функция  только возрастает или только убывает на некотором множестве значений , то на соответствующем множестве значений  каждому значению  будет соответствовать только одно значение , то есть будет определена обратная функция 

.Пример 1.Задана функция . Область определения и область значений функции — вся числовая прямая. Обратная к ней функция будет 

.Пример 2.Задана функция . Область определения — вся числовая прямая, а область значений — только неотрицательные значения . Очевидно, что одному и тому же положительному значению  будут соответствовать два различных (отличающихся знаком) значения . Таким образом, мы можем определить две обратных функции, каждая из которых будет соответствовать той или иной ветви параболы , то есть обратными будут функции .

Пример.

Найти функцию обратную для .

Решение.

Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим xчерез y(другими словами, решим уравнение  относительно x).

 - это и есть обратная функция, правда здесь y– аргумент, а x– функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы xи y, будем писать .

Таким образом,  и  - взаимно обратные функции.

Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов).

Теорема о производной обратной функции. Пусть ,  обратима,  – множество значений . Пусть функция  дифференцируема в точке , а функция  дифференцируема в точке . Тогда  и .

Доказательство. .

Обозначим . Тогда

Формулы дифференцирования функций.

Дифференцирование функции

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Функция  имеет производную на интервале  или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная  существует в каждой точке этого интервала.

Функция  имеет в точке  бесконечную производную, если в этой точке .

(О непрерывности функции в точке)

Если функция  имеет конечную производную в точке  , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция  непрерывна в некоторой точке  , то она может и не иметь производной в этой точке.

Функция  называется дифференцируемой в точке , если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

где  - число, не зависящее от ,  - б.м. функция при .

(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)

Для того чтобы функция  была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы  имела в этой точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции  дифференцируемость в данной точке  и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.