Планирование и организация эксперимента.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С.М. Кирова

Кафедра технологии лесозаготовительных производств

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

на тему: «Планирование и организация эксперимента».

Выполнил:

Студент ЛИФ IV курс 3 группа

Бачериков И.В

№ зач.кн.: 108033

Проверил:

_________________________

дата _________________________

Санкт-Петербург

2012

1. СОДЕРЖАНИЕ

1.      СОДЕРЖАНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.      ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.      ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТА ГОДНОЙ ПРОДУКЦИИ И ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ НАСТРОЙКИ РАСКРЯЖЕВОЧНОЙ УСТАНОВКИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.      АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ ПИЛОМАТЕРИАЛОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.      ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ШЕРОХОВАТОСТИ ВЫПИЛИВАЕМЫХ ДОСОК ОТ ВРЕМЕНИ РАБОТЫ РАМНЫХ ПИЛ ПОСЛЕ ЗАТОЧКИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.      ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПОЛНОФАКТОРНОГО ПЛАНА И ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРЕЛЕВОЧНЫХ МАШИН. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

7.      ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСКРОЙ ХЛЫСТА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

8.      СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. ВВЕДЕНИЕ

Высокие темпы развития теоретических наук на основе проработанного математического аппарата и необходимостью их экспериментального подтверждения требует из-за медленного развития технологий все более дорогостоящих экспериментов. При любом эксперименте невозможно избежать воздействия некоторых неучтенных помех, несмотря на стремление исследователя свести их к минимуму. Большинство из этих воздействий имеет случайную природу. Для возможности их частично компенсировать было разработано целое поднаправление математики — математическая статистика, которая позволяет оценивать параметры с частичным исключением помех.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТА ГОДНОЙ ПРОДУКЦИИ И ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ НАСТРОЙКИ РАСКРЯЖЕВОЧНОЙ УСТАНОВКИ

Исходные данные:

n — количество наблюдений;

 — наблюдаемые длины сортиментов после раскряжевки, заданные в виде простого статистического ряда.

Исходные данные для определения процента годной продукции и требуемой точности настройки раскряжевочной установки.

Таблица 3.1

Заданные в виде простого статистического ряда длины сортиментов распологаем в виде неубывающей последовательности, т.е. строим вариационный ряд.

Таблица 3.2

Номер наблюдения				Номер наблюдения
1	675	-24,1	605,16	14	703	3,4	11,56
2	681	-18,6	345,96	15	704	4,4	19,36
3	686	-13,6	184,96	16	704	4,4	19,36
4	687	-12,6	158,76	17	707	7,4	54,76
5	688	-11,6	134,56	18	707	7,4	54,76
6	688	-11,6	134,56	19	708	8,4	70,56
7	690	-9,6	92,16	20	709	9,4	88,36
8	693	-6,6	4,56	21	709	9,4	88,36
9	699	-0,6	0,36	22	710	10,4	108,36
10	701	1,4	1,96	23	711	11,4	129,96
11	701	1,4	1,96	24	712	12,4	153,96
12	701	1,4	1,96	25	714	14,4	207,36
13	702	2,4	5,76	Итого	17490	—	2718

С помощью t-критерия Стьюдента исключаем из вариационного ряда анормальные результаты наблюдений. Для этого вычисляем:

Выборочное среднее:  ;

Выборочную дисперсию: ;

Выборочное среднеквадратическое отклонение: ;

Расчетный t-критерий:

 ;

 .

По числу степеней свободы , принятому уровню значимости  определяем t-критерий Стьюдента. Если  и , то гипотеза отвергается, значения  и  признаются анормальными и исключаются из выборки. Проверку такого рода необходимо производить до тех пор, пока не выполнится условие:   и .

 — условие выполняется.

 — условие не выполняется.

Располагаем результаты в виде вариационного ряда.

Таблица 3.3

Номер наблюдения				Номер наблюдения
1	681	-19,63	385,3369	14	704	3,37	11,3569
2	686	-14,63	214,0369	15	704	3,37	11,3569
3	687	-13,63	185,7769	16	707	6,37	40,5769
4	688	-12,63	159,5169	17	707	6,37	40,5769
5	688	-12,63	159,5169	18	708	7,37	54,3169
6	690	-10,63	112,9969	19	709	8,37	70,0569
7	693	-7,63	58,2169	20	709	8,37	70,0569
8	699	-1,63	2,6569	21	710	9,37	87,7969
9	701	0,37	0,1369	22	711	10,37	107,5369
10	701	0,37	0,1369	23	712	11,37	129,2769
11	701	0,37	0,1369	24	714	13,37	178,7569
12	702	1,37	1,8769	Итого	16815	—	2087,626
13	703	2,37	5,6169

С помощью t-критерия Стьюдента исключаем из вариационного ряда анормальные результаты наблюдений. Для этого вычисляем:

Выборочное среднее:

;

Выборочную дисперсию:

;

Выборочное среднеквадратическое отклонение:

;

Расчетный t-критерий:

;

.

По числу степеней свободы , принятому уровню значимости  определяем t-критерий Стьюдента. Если  и , то гипотеза отвергается, значения  и  признаются анормальными и исключаются из выборки. Проверку такого рода необходимо производить до тех пор, пока не выполнится условие:   и .

 — условие выполняется.

 — условие выполняется.

Для построения гистограммы, определяем числа разрядов (интервалов), для которых вычислим относительные или абсолютные частоты (количество попаданий той или иной случайной величины в интервал).

Определяем число интервалов по формуле:

Шаг интервала определяем по формуле:

Полученные данные сводим в таблицу.

Данные для построения гистограммы и проверки степени согласования экспериментальных и теоретических законов.

Таблица 3.4

Проверяем согласование по критерию Пирсона:

По числу степеней свободы и заданному уровню значимости определяем значение X²

По принятому закону распределения определяем вероятность попадания случайных величин  в заданный интервал:

Выход готовой продукции 90%.

Вывод: на основе данного аналиа мы выяснили, что случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, при хорошо налаженной установке выход годной продукции составит более 90%.

4. АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ ПИЛОМАТЕРИАЛОВ

Исходные данные для определения процента годной продукции и требуемой точности настройки раскряжевочной установки.

Таблица 4.1

Заданные в виде простого статистического ряда длины сортиментов распологаем в виде неубывающей последовательности, т.е. строим вариационный ряд.

Таблица 4.2

С помощью t-критерия Стьюдента исключаем из вариационного ряда анормальные результаты наблюдений. Для этого вычисляем:

Выборочное среднее:

;

;

Выборочную дисперсию:

;

;

Выборочное среднеквадратическое отклонение:

;

;

Расчетный t-критерий:

;

;

;

.

По числу степеней свободы , принятому уровню значимости  определяем t-критерий Стьюдента.

 Если  и , то гипотеза отвергается, значения  и  признаются анормальными и исключаются из выборки. Проверку такого рода необходимо производить до тех пор, пока не выполнится условие:   и .

 — условие не выполняется.

 — условие выполняется.

 — условие выполняется.

 — условие выполняется.

Продолжаем проверку выборки №1.

Таблица 4.3

Выборочное среднее:

;

Выборочную дисперсию:

;

Выборочное среднеквадратическое отклонение:

;

Расчетный t-критерий:

;

.

По числу степеней свободы , принятому уровню значимости  определяем t-критерий Стьюдента.

 — условие выполняется.

 — условие выполняется.

Проверяем однородность дисперсии по F-критерию Филера.

Задаем уровень значимости:

Число степеней свободы: ;

По значениею f₁ и f₂ определяем табличное значение критерия Фишера:

Получаем , значит выборочные дисперсии считаются неоднородными для выбранного уровня значимости q.

Проверяем однородность выборочных средних. S₁ и S₂ неоднородны, в данном случае формула t_расч имеет вид:

Найденое значение f округляем до целого и принимаем за число степеней свободы. По этой величине и по уровню значимости  из таблиц распределения Стьюдента отыскиваем t_табл:

Проверяем оценку точности и надежности математического ожидания:

Определяе потребный объем случайной выборки:

Если задаться допустимой производственнной точностью шероховатости поверхности пиломатериалов ∆и доверительной вероятностью , то можно определить потребный объем выборки.

Вывод: анализ статистических свойств измерений шероховатостей поверхности материалов показал, что необходимое число замеров  и

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ШЕРОХОВАТОСТИ ВЫПИЛИВАЕМЫХ ДОСОК ОТ ВРЕМЕНИ РАБОТЫ РАМНЫХ ПИЛ ПОСЛЕ ЗАТОЧКИ

Исходные данные:

x — время работы рамных пил после заточки, ч

y — шероховатость поверхности досок, мм

Таблица 5.1

Определяем коэффициент корреляции r между временем работы пил после заточки и шерохроватости поверхности выпиливаемых досок h.

Коэффициент корреляции r вычисляем по формуле:

Оценка значимости коэффициента корреляции производится с помощью t-критерия. Для этого определяется:

, , следовательно,

, значит принимает гипотезу о некоррелированности величин x и y. В противном случае r значимо отличается от 0, т.е. между величинами x и y существует линейная статическая связь.

Оцениваем коэффициенты регрессии линейной и квадратичной моделей. Регрессионная модель в виде линейного уравнения имеет вид:

Коэффициенты регрессии определяем, решив систему уравнений:

Строим график:

Рис. 5.1

Регрессионная модель в виде квадратичного уравнения имеет вид:

Для нахождения трех неизвестных коэффициентов регрессии, решим систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Подставляем все значения в последнее уравнение:

Строим график зависимости:

Рис. 5.2 График зависимости шероховатости досок от времени работы рамных пил

Вывод: в соответствии с проведенным анализом, мы выяснили, что зависимость шероховатости выпиливаемых досок от времени работы рамных пил после заточки определяется по линейной зависимости.

6. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПОЛНОФАКТОРНОГО ПЛАНА И ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРЕЛЕВОЧНЫХ МАШИН

Исходные данные:

L_тр — среднее расстояние трелевки, м;

V_хл — средний объем хлыста, м³;

П_ч — часова производительность, м³/ч

Таблица 6.1

Показатель			Данные
Управляемые факторы (X1, X2)	Расстояние трелевки Lтр, (X1)	X1min, м X1max, м	150 450
	Объем хлыста Vхл, (X2)	X2min, м3 X2max, м3	0,10 0,60
Выходная величина (отклик), Y	Производительность трелевочного трактора, м3/ч	1	11,0 11,2 11,0 10,5 10,8
		2	5,8 6,2 6,0 6,1 5,9
		3	16,1 15,9 16,4 16,8 16,7
		4	9,1 9,8 9,2 8,9 8,8

Результаты расчета и эксперимента сводим в таблицу.

Таблица 6.2

Определим уровни и интервалы варьирования факторов:

 — основной уровень варьирования фактора;

 — интервал варьирования фактора.

Аналогично находим верхний и нижний уровни варьирования среднего объема хлыста.

Рассчитываем средние и дисперсии для каждой серии опытов по формулам:

Отбрасываем аномальные результаты эксперимента и рассчитываем дисперсию воспромизводимости для каждой серии опытов.

Находим интервал мат. ожидания для каждой выборки:

Результаты эксперимента не входящие в полученные диапазоны из табл.6.2 удаляем и пересчитываем значения  и .

Таблица 6.3

Проверяем нормальность результатов:

Для проверки однородности нескольких дисперсий при равных объемах выборок  может быть использован G-критерий Кохрена. Пусть  — количество выборочных дисперсий, однородность которых проверяется. Обозначим эти дисперсии: . Вычислим расчетное G-отношение по формуле:

По выбранному уровню значимости q, числу степеней свободы каждой выборки  и по количеству выборок N из таблицы распределения Кохрена выбираем величину . , следовательно гипотеза о однородности дисперсий неверна.

Вычисляем дисперсию воспроизводимости по формуле:

Число степеней свободы f для данной дисперсии равно:

Рассчитываем коэффициенты регрессионной модели вида  для нормальных и натуральных факторов. Находим функции отклика.

Регрессионная модель в натуральных обозначениях будет иметь вид:

Запишем регрессионную модель в натуральных обозначениях:

Оцениваем степень значимости коэффициентов регрессии:

Вычисленную величину  сравниваем с табличным значением  критерия Стьюдента для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы .

Проверка адекватности математической модели даст возможность ответить на вопрос, будет ли построенная модель предсказывать значения выходной величины с той же точностью, что и результаты эксперимента.

Определяем сумму квадратов, характеризующую адекватность модели:

            Вычисляем число степеней свободы дисперсии адекватности:

            Вычисляем дисперсию адекватности:

            C помощью F-критерия Фишера проверяем однородность дисперсии адекватности  и дисперсии воспроизводимости :

Модель неадекватна.

Строим графики зависимости

Рис. 6.1 График зависимости в нормальных обозначениях

Рис. 6.2 График зависимости в натуральных обозначениях

7. ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСКРОЙ ХЛЫСТА

Кряжи 4, 5, 6 м.

1.

x

Рис. 7.1 Целочисленная решетка

2.

Рис. 7.2 Целочисленная решетка

3.

Рис. 7.3 Целочисленная решетка

8. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.      Андреев В.Н., Петровец В.Ф., Фаст В.И. Моделирование и оптимизация процессов лесозаготовок: Методические указания, рабочая программа и контрольные задания для студентов специальности 260100. ЛТА, 60 с. 1996г.