Пирамида в математике и архитектуре

Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

 «КОСТРОМСКОЙ  ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  КОЛЛЕДЖ»

 

РЕФЕРАТ

по математике на тему:

 «Пирамида в математике и архитектуре»

Выполнила: студенты группы 1-1-Б9

Виноградова Л.

Колесников М.

Проверила: Жуйкова Е.С.

Оценка: содержание  –

                       защита  –

Кострома 2015

Оглавление:

1.Введение. 
2. Цели работы.

3.Основная часть:

1)  Исторические сведения о пирамиде.

2)  Основные понятия и свойства правильной пирамиды

3)  Основные формулы пирамиды

4)  Углы пирамиды

5)  Сечения пирамиды

6)  Виды пирамид

·      Правильная

·      Усеченная

7) Задачи

8) Решение задач

4.Заключение.

5.Список литературы.

Введение:

Когда мы начали изучать стереометрические фигуры мы затронули тему «Пирамида». Нам понравилась это тема, потому что пирамида очень часто употребляется в архитектуре. И так как наша будущая профессия архитектора, вдохновившись этой фигурой, мы думаем, что она сможет подтолкнуть нас к отличным проектам.

Прочность архитектурных сооружений, важнейшее их качество. Связывая прочность, во-первых, с теми материалами, из которых они созданы, а, во-вторых, с особенностями конструктивных решений, оказывается, прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. 
Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться как модель соответствующей архитектурной формы. Оказывается, что геометрическая форма также определяет прочность архитектурного сооружения.
Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид.
Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.

Цель проекта: узнать что-то новое о пирамидах, углубить знания и найти практическое применение.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

·       Рассмотреть пирамиду, как геометрическую фигуру

·       Узнать исторические сведения о пирамиде

·       Найти применение в жизни и архитектуре

Исторические сведения

·       Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

·      Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них — пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы в свободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде

Основные понятия

Пирамидой называется многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;

боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;

боковые ребра — общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Основные свойства правильной пирамиды

                    I.            Боковые ребра, боковые грани и апофемы соответственно равны.

                 II.            Двугранные углы при основании равны.

             III.            Двугранные углы при боковых ребрах равны.

             IV.            Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.

                V.            Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

Основные формулы пирамиды

·      Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Площадью боковой поверхности пирамиды (полной и усечённой) называется сумма площадей всех ее боковых граней, площадью полной поверхности – сумма площадей всех ее граней.

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

S_бок= 1/2pA

p - периметр основания;

A - апофема.

·      Площадь боковой и полной поверхностей усеченной пирамиды.

S_бок= 1/2(p₁+ p₂)A

p₁,p₂- периметры оснований;

A- апофема.

Р =S_бок+ S₁+ S₂

Р - площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;

S_бок- площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;

S₁+ S₂ - площади основания

·      Объем пирамиды

Формула объёма используется для пирамид любого вида.

V=1/3SоснованияH

H— высота пирамиды.

Углы пирамиды.

·       Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.

двугранный угол образуется двумя перпендикулярами.

Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.

·       Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.

·       Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.

·       Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.

Сечения пирамиды.

Поверхность пирамиды – это поверхность многогранника. Каждая ее грань представляет собой плоскость, поэтому сечение пирамиды, заданной секущей плоскостью – это ломаная линия, состоящая из отдельных прямых.
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих на одной грани, называется диагональным сечением пирамиды.

Параллельные сечения.

Теорема:

Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то

1)   Боковые ребра и высоты пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2)   Сечением этой плоскости является многоугольник, подобный основанию;

3)   Площади сечения и основания относятся друг к другу как квадраты их расстояний от вершины.

Виды пирамиды.

                                           I.            Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

У правильной пирамиды:

1.  боковые ребра равны

2.  боковые грани равны

3.  апофемы равны

4.  двугранные углы при основании равны

5.  двугранные углы при боковых ребрах равны

6.  каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания

7.  каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней

Теорема: 

Если в пирамиде все боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр описанной около основания окружности.

                                           II.            Часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой.

Основание и соответствующие сечение усеченной пирамиды называются основаниями усеченной пирамиды. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания на плоскость другого, называется высотой усеченной пирамиды.

Задачи.

№1.  В правильной четырехугольной пирамиде точка О – центр основания, SO=8 cм, BD=30 см. Найдите боковое ребро SA.

Решение задач.

№1. В правильной пирамиде все грани и ребра равны.  Рассмотрим OSB:

SB²=SO²+OB²=64+225=289

SB=SA=17 см