Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

X

0

< x P PВычислив IMG SRC="http://images.km.ru/education/referats/img/8785_191.gif", получим:/P PIMG SRC="images/referat/31224-6.gif"/P PПри Ix /I> 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или

Откуда

и, следовательно,

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

или

Случай 2.

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим

Случай 3.

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

откуда

Дуги γ и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1 ;

в случае 2 и в случае 3 .

Итак, имеем окончательно:

Пример:

;

2. Заменив в (1) x на –x получим:

3. Выразить сумму через арккосинус

и

имеем

Возможны следующие два случая.

Случай 1: если , то

Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

и следовательно, , откуда

Случай 2: . Если , то

,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если

.

Из равенства следует, что дуги

и имеют одинаковый косинус.

В случае 1 , в случае 2 , следовательно,

(3)

4. Аналогично

(4)

пример:

5.

(5)

При xy=1 не имеет смысла

6.

; xy > -1

(6)

7.

(7)

8.

(8)

9.

(9)

10.

(10)

(11)

(12)