Модели и методы принятия решений

Стадии А₃:

1 – 2 мес.;

2 – 7 мес.;

3 – 9 мес.;

4 – 13 мес..

Неравенства t₁:

Следовательно, t₁ = 6 мес.

Стадии А₁:

1 – 7 мес.;

2 – 9 мес.;

3 – 14 мес.;

4 – 16 мес..

Неравенства t₂:

Следовательно, t₂ = 9 мес.

Стадии А₂:

1 – 12 мес.;

2 – 14 мес.;

3 – 17 мес.;

4 – 21 мес..

Следовательно общее время строительства А₃ А₁ А₂ = 21 мес.

А₃ А₂ А₁

Стадии А₃:

1 – 2 мес.;

2 – 7 мес.;

3 – 9 мес.;

4 – 13 мес..

Неравенства t₂:

Следовательно, t₂ = 5 мес.

Стадии А₂:

1 – 8 мес.;

2 – 10 мес.;

3 – 18 мес.;

4 – 20 мес..

Неравенства t₁:

Следовательно, t₁ = 10 мес.

Стадии А₁:

1 – 11 мес.;

2 – 13 мес.;

3 – 18 мес.;

4 – 20 мес..

Следовательно общее время строительства А₃ А₂ А₁ = 20 мес.

Таблица 4 – Результаты расчетов

Таким образом наилучший выбор строительства А₁ А₃ А₂, который займет общее время в 18 месяцев.

3. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА

Задача 3.11

Двум строительным объектам А и Б по разным дорогам (шоссейной и проселочной) доставляется однородный груз одной и той же машиной. Объекту А необходимо Х_Т груза; объекту Б необходимо Y_T груза. Если машина доставляет груз в пункт А, то с вероятностью Р₁ она перевозит часть R₁ груза, а с вероятностью (1-P₁) машина выходит из строя. Если машина доставляет груз в пункт Б, то с вероятностью Р₂, она перевозит часть R₂, потребного для этого объекта груза, а с вероятностью (1-P₂) машина выходит из строя. В течение смены машина может сделать три рейса.

В какой последовательности необходимо использовать машину для перевозки грузов, чтобы математическое ожидание общего количества груза, доставленного в пункты А и Б, было максимальным? Найти это математическое ожидание.

Исходные данные для различных вариантов приведены в таблице5.

Таблица 5 – Исходные данные

Решение

Математическое ожидание :

Первым рейсом следует провести 21 т. груза в Б. Вторым рейсом можно отправить Х груза в А или Y(1-R₂) в пункт Б:

Выберем отправку вторым рейсом 8т. груза в А. Третьим рейсом можно отправить остаток Х(1-R₁) груза в А или Y(1-R₂) в пункт Б:

Третьим рейсом целесообразнее отправить 12т. груза в А, так как математическое ожидание 10,8 > 7,2. На четвертый рейс следующей смены осталось доставить Y(1-R₂) = 9т. груза в Б, с математическим ожиданием:

Максимальное математическое ожидание общего количества перевезенного в пункты А и Б груза равно:

Таким образом, груз следует доставлять в пункты А и Б в следующих объемах и последовательности:

4. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Задача 4.2

Мелитопольский станкостроительный завод им. 23 Октября выпускает токарно-револьверные автоматы (ТРА) на базе модели 1Б118 двух классов:

1) высший класс - станки повышенной точности 1М118П, оснащенные дополнительными устройствами, значительно расширяющими технологические возможности ТРА;

2) серийная модель 1M118, стоимость которой существенно ниже стоимости модели 1М118П.

Рынком сбыта ТРА традиционно владеют фирмы "Index" и "Traub". Для развития производства и эффективной работы станкозаводу необходимо "прорваться" на рынок сбыта станков, занятый всемирно известными фирмами. Прибыль завода зависит от объёма выпускаемых станков, их номенклатуры и возможной реализации в следующих регионах:

1. Украина.

2. Россия.

3. Белоруссия.

4. Страны Балтии.

5. Страны восточной Европы.

Для станкозавода эта прибыль в зависимости от региона сбыта и класса станков задана в таблице вариантов заданий.

Определить:

1. Оптимальную стратегию поведения станкозавода (номенклатуру и соотношение объёмов выпуска станков различных классов, рынки сбыта).

2. Дать экономическую интерпретацию (гарантированную прибыль) оптимальной стратегии станкозавода.

Таблица 6 – Исходные данные

Решение

Из исходных данных видно:

max_i = {8, 10, 8, 9, 11};min_j = {4, 6}.

min_j max_i a_ij = min {8, 10, 8, 9, 11} = 8 – обозначим β.

max_i min_j a_ij = max {4, 6} = 6 – обозначим α.

Так как α = 6 ≠ β = 8, седловая точка в заданной платежной матрице отсутствует. Цена игры 6 < v < 8. Игра не имеет решения в чистых стратегиях. Выбирая доминирующие стратегии для игрока В получим матрицу 2 х 2.

Вероятность чистых стратегий:

Оптимальные смешанные стратегии S_A и S_B, заданные вероятностями применения входящих в них чистых стратегий имеют решение:

Цену игры (средние платежи) смешанной стратегии определяем графически:

8                                              10*x/5=1/1;

6                                              х = 0,5;      v = 6 + 0.5 = 6.5

                                    х

4

2                                              Цена игры 6 < v = 6,5 < 8

0

          5/10

Выводы

1. Станкозаводу следует выпускать 0,5 объема станков повышенной точности и 0,5 объема - серийные ТРА.

2. Станки направлять для реализации в страны Балтии и страны Восточной Европы.

3. Какую бы стратегию поведения не выбрали фирмы "Index" и "Traub" в любом регионе сбыта, они не смогут снизить прибыль станкозавода ниже, чем 6,5 млн. грн. в год, если станкозавод будет придерживаться стратегий по пунктам 1 и 2 выводов.

Задача 16

Компания "Kilroy" выпускает очень специфичный безалкогольный напиток, который упаковывается в 40-пиитовые бочки. Напиток готовится в течение недели, и каждый понедельник очередная партия готова к потреблению. Однако в одно из воскресений всю готовую к продаже партию пришлось выбросить. Секретный компонент, используемый для приготовления напитка, покупается в небольшой лаборатории, которая может производить каждую неделю в течение полугода (так налажено производство) только определенное количество этого компонента. Причем он должен быть использован в кратчайший срок.

Переменные затраты на производство одной пииты напитка составляют 70 пенсов, продается она за 1,50 ф.ст. Однако компания предвидит, что срыв поставок приведет к потере части покупателей в долгосрочной перспективе, а следовательно, придется снизить цену на 30 пенсов.

За последние 50 недель каких-либо явных тенденций в спросе выявлено не было:

1. Для того чтобы определить, что нужно предпринять, используйте каждое из правил: максимакса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и минимума ожидаемых возможных потерь.

2. Исследуйте чувствительность: изменит ли увеличение продажной цены до 1,75 ф.ст. какое-либо решение?

Решение

Итак, в начале недели можно изготавливать для последующей продажи от трех до семи бочек напитка. В целом каждое решение и его исходы примерно равны, но, принимая решение, невозможно контролировать исходы. Покупатели определяют их сами, поэтому исходы представляют собой также "фактор неопределенности".

Отдача в денежном выражении для любой комбинации решений и исходов приведена в таблице 7.

Таблица 7 – Доход (прибыль) в неделю, ф.ст.

Здесь доход в неделю в ф.ст. найден следующим образом:

а₃₃,…., а₃₇ = (1,5 – 0,7)*3 = 2,4;

а₄₃ = (1,5 – 0,7)*3 + (1,5 – 0,7 – 0,3)*1 = 2,9;

а₄₄,…., а₄₇ = (1,5 – 0,7)*4 = 3,2;

а₅₃ = (1,5 – 0,7)*3 + (1,5 – 0,7 – 0,3)*2 = 3,4;

а₅₄ = (1,5 – 0,7)*4 + (1,5 – 0,7 – 0,3)*1 = 3,7;

а₅₅,…., а₅₇ = (1,5 – 0,7)*5 = 4,0 и т.д.

1. Правило максимакса. Максимизация максимума доходов по каждому возможному принимаемому решению приведена в таблице 8.

Таблица 8 – Максимальные и минимальные доходы

По правилу максимакса, чтобы получить максимальную прибыль, игнорируя возможные потери, вы закупите в начале дня пять пирожных.

2. Правило максимина (критерий Вальда). Соответствующие минимальные доходы приведены в таблице 8. По этому правилу вы изготовляете три бочки в начале недели. Это очень осторожный подход к принимаемому решению.

3. Правило минимакса. В этом случае больше внимания уделяется возможным потерям, чем доходам. Таблица возможных потерь дает представление о прибылях каждого исхода, потерянных в результате принятия неправильного решения.

Находя из таблицы доходов, наибольший доход для каждого исхода, и сопоставляя его с другими доходами этого же исхода, получим таблицу 9 возможных потерь.

Правило минимакса для работы с таблицей упущенных доходов называются минимаксным правилом возможных потерь. Оно состоит в том, чтобы для каждого решения выбрать максимально возможные потери. Затем выбирается то решение, которое ведет к минимальному значению максимальных потерь (табл. 10).

Таблица 9 – Возможные потери в неделю, ф.ст.

Таблица 10 – Максимальные возможные потери в неделю, ф.ст.

Следовательно, по правилу минимакса мы выберем изготовление семи бочек в неделю.

Преобразуем таблицу 7 доходов таким образом, чтобы альтернативы ЛПР располагались по строкам, а состояния среды и их вероятности (из табл. 6) в столбцах матрицы.

Таблица 11 – Доход в неделю, ф.ст.

4. Максимизация наиболее вероятных доходов. Наибольшая вероятность 0,3 из табл. 11 соответствует спросу в пять бочек в неделю. Наиболее вероятный наибольший доход каждого из этих исходов приведен в таблице 12.

Таблица 12 - Максимальный вероятный доход

По этому правилу фирма должна изготовлять пять бочек в неделю.

5. Оптимизация математического ожидания. Рассчитаем максимальный ожидаемый доход.

W(x₁) = (0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,2)*2,4 = 2,4 ф.ст.

W(x₂) = 0,1*2,9 + (0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,2)*3,2 = 3,17 ф.ст.

W(x₃) = 0,1*3,4 + 0,2*3,7 + (0,3 + 0,2 + 0,2)*4,0 = 3,88 ф.ст.

W(x₄) = 0,1*3,9 + 0,2*4,2 + 0,3*4,5 + (0,2 + 0,2)*4,8 = 4,5 ф.ст.

W(x₅) = 0,1*4,4 + 0,2*4,7 + 0,3*5,0 +

+ 0,2*5,3 + 0,2*5,6 = 5,06 ф.ст. ← max

Итак, используя критерий максимизации ожидаемого дохода, фирма должна изготавливать семь бочек в неделю.

Наименьшие ожидаемые возможные потери рассчитываем через математическое ожидание, используя данные табл.9 возможных потерь и вероятности табл.6.

W(x₁) = 0,1*0,0 + 0,2*2,4 + 0,3*3,2 + 0,2*4,0 + 0,2*4,8 = 3,2 ф.ст.

W(x₂) = 0,1*0,5 + 0,2*0,0 + 0,3*2,4 + 0,2*3,2 + 0,2*4,0 = 2,21 ф.ст.

W(x₃) = 0,1*1,0 + 0,2*0,5 + 0,3*0,0 + 0,2*2,4 + 0,2*3,2 = 1,32 ф.ст.

W(x₄) = 0,1*1,5 + 0,2*1,0 + 0,3*0,5 + 0,2*0,0 +

+ 0,2*2,4 = 0,98 ф.ст. ← min

W(x₅) = 0,1*2,0 + 0,2*1,5 + 0,3*1,0 + 0,2*0,5 + 0,2*4,8 = 1,86 ф.ст.

Минимальные ожидаемые возможные потери равны 0,98 ф.ст. в неделю, то есть наилучшее решение – шесть бочек в неделю.

6. Критерий Гурвица. ЛПР не располагает данными о спросе, поэтому ему нужно самому определить веса (коэффициент доверия) для исходов с низкими и высокими доходами. В данном случае из табл.7 самый низкий доход из возможных - при трех бочках в неделю, самый высокий - при семи. Из табл.6 и табл.7 следует, высокие доходы встречаются более, чем в одном исходе и с большей частотой. Принимаем коэффициент доверия а=0,5. Результаты расчетов приведены в таблице 13.

Таблица 13 – Критерий Гурвица

Если ЛПР использует указанные веса, то его решение по правилу Гурвица, будет состоять в том, чтобы семь бочек в неделю.

7. Критерий Лапласа. Для каждой строки матрицы доходов (табл.11) рассчитаем усредненный выигрыш и выберем максимальный.

W(x₁) = 0,2*(2,4*5) = 2,4

W(x₂) = 0,2*(2,9+3,2*4) = 3,14

W(x₃) = 0,2*(3,4+3,7+4,0*3) = 3,82

W(x₄) = 0,2*(3,9+4,2+4,5+4,8*2) = 4,44

W(x₅) = 0,2*(4,4+4,7+5,0+5,3+5,5) = 4,98 - max

Решение, дающее максимальный средний доход, - изготавливать семь бочек.

8. Запас прочности (чувствительность) решений. Данные для определения зависимости выбора решения от изменений значений вероятностей рассчитаны в п.5 и п.7 и сведены в таблицу 14.

Таблица 14 - Зависимость выбора решения от изменений значений вероятностей

Решение, дающее максимальный ожидаемый доход, - изготовлять семь бочек напитка, не претерпело изменений, однако средняя прибыль при равновероятности спроса снизилась с 5,06 ф.ст. до 4,98 ф.ст. в день. В данном случае выбор решения нечувствителен к незначительным изменениям вероятности, то есть не происходит замены выбранного варианта решений на новый.

9. Стоимость достоверной информации. Компания, например, принимает заказы па следующий неделю. Контролировать их количество не удается, однако можно, корректируя количество изготовляемых бочек, максимизировать доход. На число изготовляемых бочек теперь влияет число поступающих заказов. Если ежедневный спрос на бочки напитка будет точно совпадать с заказами, то максимальный ожидаемый доход можно по формуле рассчитать через математическое ожидание:

Используя данные табл.8 и табл.6

W_max= 2,4*0,1 + 3,2*0,2 + 4,0*0,3 + 4,8*0,2 + 5,6*0,2 = 4,16 ф.ст.

Максимальный ожидаемый доход без дополнительной информации W(x₅) = 5,06 ф.ст. (см.п.5).

Тогда стоимость достоверной информации равна:

4,16 - 5,06 = - 0,9 ф.ст.

Эта цифра равна минимальным ожидаемым возможным потерям (рассчитанным в п.5).

Таким образом, кондитерская может заплатить 0,9 ф.ст. в день, чтобы получать информацию о спросе.

Выводы:

1. При выборе "осторожной " стратегии Вальда – изготовлении одной бочки напитка в неделю гарантирован доход не менее 2,4 ф.ст.

2. Выбор "рискованной" максимакспой стратегии при изготовлении пяти бочек может дать доход 5,6 ф.ст.., однако вероятность получения такого дохода слишком мала (g₅=0,2). Критерий Гурвица при изготовлении тех же 5-ти бочек в неделю определяет максимальный доход в размере 5,06 ф.ст. (при принятом а =0,5 ).

3. Если компания будет платить 0,9 ф.ст. за дополнительную достоверную информацию о спросе, (например, организует работу по предварительным заказам), то ожидаемый доход составит от 4,16 ф.ст. до 5,06 д.е.

4. Выбор решения при заданных табл.6 исходных данных мало чувствителен к изменению вероятностей исходов, то есть "надежность" принятого решения.

Литература

1. Коршунов К.М. Математические основы кибернетики: Учеб. пособие. - М.: Эиергоатомиздат, 1987. - 496 с.

2. Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решений. - М.: Наука, 1982.-328 с.

3. Евлаиов Л.Г. Теория и практика принятия решений. - М.: Экономика, 1984.- 176 с.

4. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. - М.: Наука, 1979.-200 с.

5. Лескин А.А., Мальцев В.Н. Системы поддержки управленческих и проектных решений. - Л.: Машиностроение. 1990.- 167 с.

6. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. - М.: Наука, 1981. -258 с.

7. Зелинский А.Н. Основы математического моделирования: Учеб. пособие.-К.: УМК ВО, 1991.-236 с.

8. Скобелев В.Г. Принятие решений: комбинаторный подход: Учеб. пособие. - Донецк: ДГУ, 1997. - 54 с.

9. Ситник В.Ф. и др. Системи шдтримки прийняття piuieiib / В. Ф. Ситник. О.С. Олексюк, В.М. Гужва, В.М. Олейко. - К.: Технжа, 1995. - 162 с.

10. Большаков А.С. Моделирование в менеджменте: Учеб. пособие.-М.: Филииъ, Рилант, 2000. -464 с.