Курская академия государственной и муниципальной службы
Кафедра «информационной и техносферной безопасности»
Реферат
по дисциплине «Методы оптимальных решений»
на тему «Идея симплекс-метода»
Выполнила: студентка 2 курса
Специальности «экономика»
Москалева О. С.
Проверил: к.ф.м.н., доцент Погосян С. Л.
Курск – 2012
Содержание
Введение……………………………………………………………………..3
1. Идея симплекс-метода…………………………………………….…4
2. Реализация симплекс-метода на примере……………………..……6
3. Табличная реализация простого симплекс-метода ……………….10
Заключение………………………………………………………………….15
Список использованной литературы………………………………..…….16
Введение.
Симлекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач.
В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки ( обычно начало координат ), осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка, соответствующая оптимальному решению.
Идея симплекс-метода
Рассмотрим универсальный метод решения канонической задачи линейного программирования, с n переменными и m ограничениями-равенствами, известный как симплекс-метод.
Множество планов канонической задачи - выпуклое многогранное множество, имеющее конечное число угловых точек. И если эта задача имеет оптимальное решение, то оно достигается хотя бы в одной угловой точке.
С любой угловой точкой связан базисный план задачи, в котором переменных равны нулю, а оставшимся переменным соответствуют линейно независимые столбцы матрицы условий . Эти линейно независимые столбцы образуют невырожденную базисную матрицу .
Перебор всех угловых точек сопряжен с большими вычислительными затратами и поэтому не эффективен. В 1947 году Дж. Данциг предложил упорядоченную процедуру перебора угловых точек, при которой для нахождения оптимального решения достаточно исследовать лишь небольшую их часть. Эта процедура называется симплекс-методом.
Дж. Данциг предложил при переходе от одной крайней точки к другой заменять в базисной матрице всего один вектор. Это означает, что при таком переходе мы должны одну из базисных переменных исключить - сделать ее небазисной (равной нулю), а на ее место ввести новую переменную из числа небазисных (нулевых) - сделать ее базисной (положительной).
Оказывается, геометрически такая замена приводит к переходу от одной угловой точки к смежной (соседней), связанной с предыдущей точкой общим ребром.
Из всех соседних точек выбирается та, в которой целевая функция возрастает более всего. Поскольку число угловых точек конечно, через конечное число переходов будет найдена вершина с наибольшим значением целевой функции, либо будет установлена неограниченность целевой функции на неограниченном множестве планов.
Общая схема симплекс-метода состоит из следующих основных шагов: шаг 0. Определение начального базиса и соответствующей ему начальной угловой точки (базисного плана).
шаг 1. Проверка текущего базисного плана на оптимальность. Если критерий оптимальности выполнен, то план оптимален и решение закончено. Иначе переход на шаг 2.
шаг 2. Нахождение переменной, вводимой в состав базисных. (Из условия увеличения целевой функции).
шаг 3. Нахождение переменной, исключаемой из состава базисных переменных (Из условия сохранения ограничений задачи).
шаг 4. Нахождение координат нового базисного плана (смежной угловой точки). Переход на шаг 1.
Повторяющиеся шаги 1-4 образуют одну итерацию симплекс-метода.
Из этой схемы следует, что во-первых, для начала работы симплекс-метода надо иметь какую-то угловую точку - начальный базисный план, а во-вторых, надо уметь исследовать текущую угловую точку на оптимальность, не вычисляя всех смежных вершин. Эти проблемы легко решаются, если каноническая задача ЛП имеет некий специальный вид.
Определение. Будем говорить, что каноническая задача ЛП имеет "предпочтительный вид", если: правые части уравнений; матрица условий содержит единичную подматрицу размера.
Другими словами, в любом уравнении есть переменная с коэффициентом равным единице, отсутствующая в остальных уравнениях. Первое условие не является обременительным, так как в случае отрицательной правой части некоторого уравнения, достаточно умножить его на (-1). В задаче предпочтительного вида начальный базисный план находится очень просто.
Реализация симплекс-метода на примере
Продемонстрируем применение симплекс-метода на примере. Рассмотрим каноническую задачу ЛП
| f(x) = x1+ 2x2 +0 x3 + 0 x4> max | (2.2) | |
| -x1+ 2x2+ x3 = 4, | (2.3) | |
| 3 x1 +2x2 + x4 = 12, | (2.4) | |
| xj ? 0, j = 1,2,3,4. | (2.5) | |
Матрица условий A = (A1, A2, A3, A4), где
Целевой вектор c =(c1, c2, c3, c4) = (1, 2, 0, 0); вектор правых частей b=(b1, b2) = (4, 12).
Шаг 0. Нахождение начальной угловой точки (базисного плана).
Задача имеет предпочтительный вид, так как правые части уравнений положительны, а столбцы матрицы условий A3, A4 образуют единичную подматрицу. Значит начальная базисная матрица = (A3, A4); x3 и x4 - базисные переменные, x1 и x2 - небазисные переменные, cБ = (c3, c4) = = (0, 0).
Начальный базисный план имеет вид x0 = (0, 0, x3, x4) = (0, 0, 4, 12); f(xo) = 0.
Шаг 1. Проверка базисного плана на оптимальность.
Подсчитаем симплексные оценки для небазисных переменных по формуле (5.1)
?1 = < cБ, A1 > - c1 = 0 ·(-1) + 0 ·3 - 1 = -1.
?2 = < cБ, A2 > - c2 = 0 ·2 + 0 · 2 - 2 = -2.
Так как оценки отрицательны, то план x - не оптимален. Будем искать новый базисный план (смежную угловую точку) с большим значением целевой функции.
Шаг 2. Нахождение переменной вводимой в базис.
Целевую функцию можно увеличить, если ввести в состав базисных переменных (сделать положительной) одну из небазисных переменных x1 или x2, поскольку обе оценки ?j < 0. Обычно в состав базисных вводят небазисную переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, поэтому будем вводить в базис переменную x2.
Шаг 3. Определение переменной выводимой из базиса.
После ввода в базис переменной x2 новый план будет иметь вид
x" = (0, x2, x3, x4).
Этот план не является базисным, так как он содержит только одну нулевую координату, значит надо сделать нулевой (исключить из базиса) одну из переменных x3 или x4. Подставим координаты плана x" = (0, x2, x3, x4) в ограничения задачи. Получим
2x2+ x3 = 4,
2x2 + x4 = 12.
Выразим отсюда базисные переменные x3 и x4 через переменную x2, вводимую в базис.
| x3 = 4 - 2x2, | (2.6) | |
| x4 = 12 - 2x2. | (2.7) | |
Так переменные x3 и x4 должны быть неотрицательны, получим систему неравенств
| 4 - 2x2 ? 0, | (2.8) | |
| 12 - 2x2 ? 0. | (2.9) | |
Чем больше значение x2, тем больше возрастает целевая функция. Найдем максимальное значение новой базисной переменной, не нарушающее ограничения задачи, то есть удовлетворяющее условиям (2.8), (2.9).
Перепишем последние неравенства в виде
2x2 ? 4,
2x2 ? 12,
откуда максимальное значение x2 = min { 4/2, 12/2 } = 2. Подставляя это значение в выражения (2.6), (2.7) для x3 и x4, получаем x3 = 0. Следовательно x3 выводится из базиса.
Шаг 4. Определение координат нового базисного плана.
Новый базисный план (смежная угловая точка) имеет вид
x" = (0, x2, 0, x4)
Базис этой точки состоит из столбцов A2 и A4, так что = (A2, A4). Этот базис не является единичным, так как вектор A2 = (2,2), и следовательно задача (2.2)-(2.5) не имеет предпочтительного вида относительно нового базиса. Преобразуем условия задачи (2.3), (2.4) таким образом, чтобы она приняла предпочтительный вид относительно новых базисных переменных x2, x4, то есть чтобы переменная x2 входила в первое уравнение с коэффициентом, равным единице, и не присутствовала во втором уравнении. Перепишем уравнения задачи
- x1+ 2 x2+ x3 = 4, (p1)
3x1 +2 x2 + x4 = 12. (p2)
Поделим первое уравнение на коэффициент при x2. Получим новое уравнение = p1 / 2, эквивалентное исходному
- 1/2 x1+ x2+ 1/2 x3 = 2. ()
Используем это уравнение, которое назовем разрешающим, для исключения переменной x2 из второго уравнения. Для этого надо уравнение умножить на 2 и вычесть из p2. Получим = p2 - 2 = p2 - p1:
4 x1 - x3 + x4 = 8. ()
В итоге получили новое "предпочтительное" представление исходной задачи относительно новых базисных переменных x2, x4:
f(x) = x1 + 2 x2 + 0 x3 + 0 x4? max
- 1/2 x1+ x2+ 1/2 x3 = 2 ()
4 x1 - x3 + x4 = 8 ()
xj ? 0, j = 1,2,3,4
Подставляя сюда представление нового базисного плана x1 = (0, x2, 0, x4), сразу найдем его координаты, так как значения базисных переменных равны правым частям уравнений
x" = (0, 2, 0, 8); f(x1)=4.
На этом завершается первая итерация простого симплекс-метода. Далее процесс решения задачи продолжается с шага 1, состоящем в проверке найденного плана на оптимальность. Решение заканчивается тогда, когда все симплексные оценки текущего базисного плана окажутся неотрицательными.
Мы не будем проводить вторую итерацию по схеме первой, поскольку все вычисления симплекс-метода удобнее проводить в табличном виде.
Табличная реализация простого симплекс-метода
Табличную реализацию продемонстрируем на том же примере (2.2)-(2.5).
Шаг 0. Решение начинается с построения начальной симплекс-таблицы. Сначала заполняется правая часть таблицы с третьей колонки. В двух верхних строках записываются имена переменных задачи (x1,...,x4) и коэффициенты целевой функции при этих переменных. Ниже записываются коэффициенты уравнений - элементы матрицы условий А, так что под переменной x1 располагается столбец A1, под переменной x2 - столбец A2 и т.д. В правый столбец заносятся правые части ограничений (числа bi > 0).
Затем находим столбцы матрицы условий, образующие единичный базис - в нашем примере это A3 и A4 - и соответствующие им базисные переменные x3, x4 записываем во вторую колонку. Наконец, в первом столбце записываем коэффициенты целевой функции при базисных переменных.
Таблица 1 - Начальная симплекс-таблица
| СБ | Базисные переменные | с1=1 | с2=2 | с3=0 | с4=0 | Значения базисных перем. (xБ=b) |
| x1 | x2 | x3 | x 4 | |||
| c3=0 | x3 | a11=-1 | a12=2 | a13=1 | a14=0 | b1=4 |
| c4=0 | x4 | a21=3 | a22=2 | a23=0 | a24=1 | b2=12 |
| Строка оценок ?j | ?1= -1 | ?2= -2 | ?3= 0 | ?4= 0 | f(x)= 0 |
Так как задача имеет предпочтительный вид, то значения базисных переменных равны правым частям уравнений, расположенным в последнем столбце. Поскольку небазисные переменные равны нулю, то начальный базисный план равен
xo = (0, 0, x3, x4) = (0, 0, 4, 12).
Шаг 1. Для проверки плана xo на оптимальность подсчитаем симплексные оценки для небазисных переменных x1 и x2 по формуле
?j=< cБ, Aj > - cj.
?1 = < cБ, A1 > - c1 = 0 ·(-1) + 0 ·3 - 1 = -1.
При табличной реализации для подсчета оценки ?1 надо найти сумму произведений элементов первого столбца (cБ) на соответствующие элементы столбца A1 при небазисной переменной x1. Аналогично подсчитывается оценка ?2, как скалярное произведение первого столбца (cБ) на столбец при переменной x2.
?2 = < cБ, A2 > - c2 = 0 ·2 + 0 · 2 - 2 = -2.
Симплексные оценки записываются в последней строке симплекс-таблицы, которая называется дельта-строкой. При этом заполняются не только клетки при небазисных переменных, но и базисные клетки. Легко проверить, что для базисных единичных столбцов матрицы условий симплексные оценки равны нулю. В последней клетке строки оценок записываем значение целевой функции в точке xo. Заметим, что, так как небазисные координаты базисного плана равны нулю, то подсчет целевой функции удобно производить по формуле
f(x)= < cБ, xБ >,
перемножая скалярно первый и последний столбцы таблицы.
Так как среди оценок ?j есть отрицательные, то план xo - не оптимальный, и надо найти новый базисный план, заменив одну из базисных переменных на новую из числа небазисных.
Шаг 2. Поскольку обе оценки ?1 и ?2 < 0, то в базис можно включить любую из переменных x1, x2. Введем в базис переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, то есть x2.
Столбец симплекс-таблицы, в котором находится вводимая в базис переменная называется ведущим столбцом.
В примере ведущим будет столбец при x2.
Шаг 3. Если в ведущем столбце все элементы отрицательны, то решения задачи не существует и max f(x) ???. В примере все элементы ведущего столбца положительны, следовательно, можно найти максимальное значение x2, при котором одна из старых базисных переменных обратится в ноль. Напомним, что максимальное значение x2 = min{4/2, 12/2}=2.
По таблице это значение вычисляется как наименьшее из отношений компонент базисного плана (из последнего столбца) к соответствующим положительным элементам ведущего столбца.
Наименьшее отношение находится в строке с базисной переменной x3. Значит переменная x3 исключается из состава базисных переменных (x3 = 0).
Строка, содержащая переменную, исключаемую из базиса, называется ведущей строкой.
В примере ведущей строкой будет первая строка.
Элемент, находящийся на пересечение ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.
В нашем случае ведущий элемент a12 = 2.
Табл. 2 - Начальная симплекс-таблица с ведущими строкой и столбцом
| cБ | Базисные перемен. | с1=1 | с2=2 | с3=0 | С4=0 | Значения базисных перем. | Уравнения |
| x1 | x2 | x3 | x 4 | ||||
| c3=0 | x3 | -1 | 2 | 1 | 0 | 4 | p1 |
| c4=0 | x4 | 3 | 2 | 0 | 1 | 12 | p2 |
| Строка оценок ?j | ?1= -1 | ?2= -2 | ?3= 0 | ?4= 0 | f(x)= 0 | ||
Шаг 4. Для получения нового базисного плана приведем задачу к новому предпочтительному виду относительно новых базисных переменных.
Для этого построим новую симплекс-таблицу, во втором столбце которой вместо исключаемой переменной x3 запишем новую базисную переменную x2, а в первом столбце (сБ) вместо с3 запишем коэффициент целевой функции при x2 : c2=2. В новой симплекс таблице столбец при x2 должен стать единичным (ведущий элемент должен равняться единице, а все остальные элементы должны обратиться в ноль). Это достигается следующими преобразованиями строк таблицы.
a. Все элементы ведущей строки делим на ведущий элемент и записываем в той же строке новой симплекс- таблицы.
Полученную строку p1" назовем разрешающей.
b. К оставшейся второй строке прибавим разрешающую строку, умноженную на такое число, чтобы элемент, стоящий в ведущем столбце обратился в ноль.
p2" = p2 + (- 2) p1" = p2 - p1.
c. Заполним последнюю строку, вычислив оценки ?j" = < cБ", Aj" > - - cj, где cБ", Aj" - соответствующие столбцы новой симплекс-таблицы, и значение целевой функции f(x)= < cБ", xБ" >.
Получим вторую симплекс-таблицу с новым базисом.
Таблица 3 - Результат первой итерации
| cБ" | Базисные перемен. | с1=1 | с2=2 | с3=0 | с4=0 | Значения базисных перем. | Уравнения | |
| x1 | x2 | x3 | x 4 | |||||
| c2=2 | x2 | -1/2 | 1 | 1/2 | 0 | 2 | p1" =p1/2 | |
| c4=0 | x4 | 4 | 0 | -1 | 1 | 8 | p2" =p2 - p1 | |
| оценки ?j" | -2 | 0 | 1 | 0 | f(x")=4 | |||
Новый базисный план x" = (0, x2, 0, x4) = (0, 2, 0, 8).Поскольку оценка ?1= -2 < 0, то план x" не оптимален. Для перехода к новому базисному плану (соседней угловой точки) проведем еще одну итерацию симплекс - метода.
Так как ?1 < 0, то в базис вводится переменная x1. Первый столбец, содержащий x1 - ведущий.
Находим отношения компонент базисного плана к соответствующим положительным элементам ведущего столбца и в качестве ведущей строки берем строку с наименьшим отношением. В таблице 2 в ведущем столбце только второй элемент больше нуля (= 4), следовательно, вторая строка будет ведущей, а расположенная в ней базисная переменная x4 подлежит исключению из базиса.
Выделяем ведущий столбец и ведущую строку и на их пересечении находим ведущий элемент (= 4).
Строим новую (третью) симплекс-таблицу, заменяя в ней базисную переменную x4 на x1, и снова преобразуя строки таблицы таким образом, чтобы ведущий элемент стал равным единице, а остальные элементы ведущего столбца обратились в ноль. Для этого ведущую (вторую) строку делим на 4, а к первой строке прибавляем полученную вторую строку, деленную на 2. Последнюю строку вычисляем по формулам для симплексных оценок ?j"" = < cБ"", Aj"" > - cj, где cБ"", Aj"" - соответствующие столбцы новой симплекс-таблицы. Значение целевой функции на новом базисном плане находим по формуле f(x"")= < cБ"", xБ"" >.
Таблица 4 - Результат второй итерации
| cБ"" | Базисн. перемен. | с1=1 | с2=2 | с3=0 | с4=0 | Значения базисных перем. | уравнения |
| x1 | x2 | x3 | x 4 | ||||
| c2=2 | x2 | 0 | 1 | 3/8 | 1/8 | 3 | p1""=p1"+p2""/2 |
| c1=1 | x1 | 1 | 0 | -1/4 | 1/4 | 2 | p2"" = p2"/4 |
| оценки ?j"" | 0 | 0 | 1/2 | 1/2 | f(x"")= 8 | ||
Новый базисный план x"" = (x1, x2, 0, 0) = (2, 3, 0, 0). Поскольку все оценки неотрицательны, то план x"" - оптимальный план.
Таким образом, x* = (2, 3, 0, 0), f(x*) = 8.
(zip - application/zip)
Статистика файлового архива
