Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Дисциплина: Численные методы

КУРСОВАЯ РАБОТА
по теме:
Численные методы решения дифференциальных уравнений

Выполнил студент
Группы ПМ-3
Бакусов П.А.

Проверил:
Вагер Б.Г.

Санкт-Петербург
2016

Оглавление

1.       Дифференциальное уравнение IV порядка                                                                                         
                                3

2.       Уравнение теплопроводности                                                                
                                                                       6

2.1.   Явная схема                                                                                      
                                                                        6

2.2.   Неявная схема                                                                                  
                                                                        7

3.       Волновое уравнение                                                                                          
                                                                        9

3.1.   Явная схема                                                                                      
                                                                        9

3.2.   Неявная схема                                                                           
                                                                             10

4.       Дифференциальное уравнение II порядка                                                                                 
                              12

4.1.   Аналитическое решение                                                                                   
                                                  12

4.2.   Метод конечных разностей                                                                                       
                                        13

4.3.   Метод Ритца                                                                                     
                                                                      14

4.4.   Метод Бубнова-Галёркина                                                                                        
                                        16

4.5.   Метод конечных элементов                                                                                       
                                        17

1.    Дифференциальное уравнение IV порядка

Задача: Найти решение дифференциального уравнения IV порядка:

Решение:

Из общего вида уравнения:

определяем: , после чего записываем внутренние узлы разностной сетки с шагом  для дифференциального уравнения и вычисляем значения коэффициентов этого уравнения в соответствующих узлах:

Вычисляем коэффициенты системы по следующим формулам:

а из краевых условий получаем, что:

Конечно-разностная система уравнений заданной краевой задачи имеет вид:

Решаем эту систему уравнений методом прогонки для пятидиагональной матрицы. Сначала вычислим коэффициенты прогонки по формулам:

Найденные коэффициенты подставляем в формулу:

с помощью которой находим искомые y_i:

Невязка правой и левой части близка к нулю, что говорит о корректности полученных данных.

2.    Уравнение теплопроводности

Задача: Найти решение одномерного уравнения теплопроводности:

2.1.         Явная схема

Решение:

Строим сетку по x с шагом , а по t с шагом  (шаг по t мы получили из условия сходимости метода: ). Вычислим значения на нулевом слое с помощью начального условия:

и получим следующие значения:

Теперь вычислим значения на первом слое. Для этого сначала получим значения на краях (x₀ и x₅) с помощью граничных условий при t₁=0,02:

После чего находим значения во внутренних точках по формуле (в данном случае параметр i, параметр переменной x, меняется в пределах от 1 до 4, а параметр j, параметр переменной t, равен 1):

В итоге получаем значения для первого слоя:

Аналогичным образом рассчитываются остальные 49 слоёв. Таблица значений первых одиннадцати слоёв представлена ниже.

Невязка правой и левой части близка к нулю, что говорит о корректности полученных данных.

2.2.         Неявная схема

Решение:

Строим сетку по x с шагом , а по t с шагом . Вычислим значения на нулевом слое с помощью начального условия:

и получим следующие значения:

Теперь вычислим значения на первом слое. Для этого составляется система (в данном случае параметр j, параметр переменной t, равен 1):

где u_i,j – неизвестные, которые мы ищем,   – граничные условия, F_i рассчитываются по формуле:

а коэффициенты C имеют вид:

В итоге получаем значения для первого слоя:

Аналогичным образом рассчитываются остальные 24 слоя. Таблица значений первых шести слоёв представлена ниже.

Невязка правой и левой части близка к нулю, что говорит о корректности полученных данных.

3.    Волновое уравнение

Задача: Найти решение одномерного волнового уравнения:

3.1.         Явная схема

Решение:

Строим сетку по x с шагом , а по t с шагом  (шаг по t мы получили из условия сходимости метода: ). Вычислим значения на нулевом и первом слое с помощью начальных условий:

и формулы (параметр i, параметр переменной x, меняется в пределах от 0 до 6):

и получим следующие значения:

Теперь вычислим значения на втором слое. Для этого сначала получим значения на краях (x₀ и x₅) с помощью граничных условий при t₂=0,2:

После чего находим значения во внутренних точках по формуле (в данном случае параметр i, параметр переменной x, меняется в пределах от 1 до 4, а параметр j, параметр переменной t, равен 1):

В итоге получаем значения для второго слоя:

Аналогичным образом рассчитываются остальные восьми слоёв. Таблица значений всех одиннадцати слоёв представлена ниже.

Невязка правой и левой части близка к нулю, что говорит о верности полученных данных.

3.2.         Неявная схема

Решение:

Строим сетку по x с шагом , а по t с шагом . Вычислим значения на нулевом и первом слое с помощью начальных условий:

и формулы (параметр i, параметр переменной x, меняется в пределах от 0 до 6):

и получим следующие значения:

Теперь вычислим значения на втором слое. Для этого составляется система (в данном случае параметр j, параметр переменной t, равен 1):

где u_i,j – неизвестные, которые мы ищем,   – граничные условия, F_i рассчитываются по формуле:

а коэффициенты C имеют вид:

В итоге получаем значения для второго слоя:

Аналогичным образом рассчитываются остальные три слоя. Таблица значений всех шести слоёв представлена ниже.

Невязка правой и левой части близка к нулю, что говорит о верности полученных данных.

4.    Дифференциальное уравнение II порядка

Задача: Найти решение дифференциального уравнения II порядка:

4.1.         Аналитическое решение

Решение:

Решение будем искать в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного неоднородного:

Рассмотрим однородное уравнение:

Его характеристический полином имеет вид:

корни которого:

Поскольку корни вещественные, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения в виде:

Для этого составим систему:

решением которой будет:

Решив эти уравнения, получаем функции u(x) и v(x):

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

В итоге, получаем решение изначального уравнения:

Подставив граничные условия и найдя коэффициенты C₁ и C₂, получаем решение задачи Коши:

Значения функции y на интервале [0,1] представлены в таблице:

4.2.         Метод конечных разностей

Решение:

Из общего вида уравнения:

определяем: , после чего записываем внутренние узлы разностной сетки с шагом  для дифференциального уравнения и вычисляем значения коэффициентов этого уравнения в соответствующих узлах:

Где коэффициенты системы рассчитываются по следующим формулам:

Аналогично дифференциальному уравнению IV порядка строится конечно-разностная система, только в данном случае с дрёхдиагональной матрицей.

Найденные коэффициенты подставляем в формулу:

с помощью которой находим искомые y_i:

4.3.         Метод Ритца

Решение:

Сначала приведём дифференциальное уравнение к виду оператора Штурма-Лиувилля:

Решение будем искать в виде:

где φ_i – базисные функции, а c_i – неизвестные коэффициенты.

Поскольку аналитическое решение – это сумма показательных функций, базис выберем показательным:

Рассмотрим функционал:

Уравнение Эйлера для него будет иметь вид изначального дифференциального уравнения, что говорит об эквивалентности задач. Поэтому мы можем воспользоваться методом Ритца, который сводит задачу на поиск минимума функционала к решению системы линейных уравнений.

Коэффициенты левой и правой части системы рассчитываются по формулам:

Найденные решения системы являются искомыми коэффициентами.

Прогнав метод Ритца для четырёх приближений, получаем четыре функции, значения которых на интервале [0,1] представлены в таблице:

4.4.         Метод Бубнова-Галёркина

Решение:

Решение будем искать в виде:

где φ_i – базисные функции, а c_i – неизвестные коэффициенты.

Поскольку аналитическое решение – это сумма показательных функций, базис выберем показательным:

Выпишем дифференциальный оператор:

Метод Бубнова-Галёркина сводит поиск решения дифференциального уравнения к решению линейной системы уравнений вида:

Найденные решения системы являются искомыми коэффициентами.

Прогнав метод Бубнова-Галёркина для четырёх приближений, получаем четыре функции, значения которых на интервале [0,1] представлены в таблице:

4.5.         Метод конечных элементов

Решение:

Решение будем искать в виде:

где φ_i – базисные функции, а c_i – неизвестные коэффициенты.

здесь h – это шаг по оси 0x.

Метод конечных элементов сводит поиск решения дифференциального уравнения к решению линейной системы уравнений вида:

где коэффициенты левой и правой части ищутся по формулам:

Найденные решения системы являются искомыми коэффициентами.

Значения найденной функции y на интервале [0,1] представлены в таблице:

Составив сводную таблицу полученных значений с помощью различных методов, можно сделать вывод, что наиболее точными являются методы Ритца и Бубнова-Галёркина (при 4 приближении).