Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина»

(ФГБОУ ВО «СГУ им. Питирима Сорокина»)

Институт точных наук и информационных технологий

Кафедра физико-математического и информационного образования

Курсовая работа

по дисциплине: «Геометрия»

Подобие плоскости

Направление: 500100.62 «Педагогическое образование»

Профиль: «Информатика, Математика»

Исполнитель: обучающийся 1315 группы Амосов Никита Владимирович

Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент, Понарядова Раиса Семёновна.

Сыктывкар, 2015

Оглавление

Введение. 3

Глава I. Преобразование плоскости. 4

Историческая справка. 4

Основные определения. 5

Гомотетия. 7

Свойства гомотетии. 8

Подобные треугольники. 9

Признаки подобия треугольников. 10

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 13

Пропорциональные отрезки в круге. 18

Глава II. Задачи на применение. 19

Задачи на движение. 19

Задачи на гомотетию.. 21

Задачи на подобие. 23

Задачи на метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 26

Задачи на пропорциональные отрезки в круге. 27

Заключение. 29

Список литературы. 30

Введение.

Сегодня предметом нашего исследования будет «Подобие плоскости». Почему именно эта тема. Значимость подобий в нашей жизни очевидна и бесспорна, а в школе тема рассматривается очень скудно.

Знание темы помогает нам как на уроках в школе, будь то геометрия или география, так и в повседневной жизни. Особенно растущие потребности технического прогресса требуют научной разработки теории преобразований, обеспечивающих точность отображения объектов на плоскость с соблюдением размеров.

Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широко использовались при составлении планов, карт, при выполнение архитектурных чертежей различных деталей машин и механизмов.
Список использования свойств подобия очень большой и особенно актуален в наше время. Сегодня мы рассмотрим преобразование в школьном курсе геометрии.

Цель курсовой: изучить преобразование плоскости и его свойства и рассмотреть преобразование в школе.

Вытекающие задачи, которые стоят перед нами:

1)    Подобрать и изучить материал по рассмотренной теме

2)    Рассмотреть сквозь преобразование подобия преобразование движения плоскости

3)    Показать применение преобразование подобия к решению задач.

Задачи: а) на построение; б) на доказательство; в) на вычисление;

На примерах рассмотрим использование преобразований плоскости и его свойств. Именно решённые задачи будут итогом курсовой работы.

Глава I. Преобразование плоскости.

Историческая справка.

Искусство изображать предметы на плоскости с древних времен привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Ещё в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. Длинная практика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильно выразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о соответствии и преобразовании. Инженер и архитектор Дезарг в 1630 г. впервые разработал основы математической теории перспективы. Своими трудами он положил начало изучению перспективных преобразований, под которыми впоследствии стали понимать отображение фигуры, данной в одной плоскости, на другую плоскость посредствам центрального проектирования или ряда последовательных проектирований.

Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н.э.), вавилонские зиккураты (ступенчатые культовые башни), персидские дворцы и другие памятники древности. Многие обстоятельства, в том числе особенности архитектуры, требования удобства, эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений, вызвали возникновение и развитие понятий отношения и пропорциональности отрезков, площадей и других величин.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V - IV вв. до н.э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге "Начал" Евклида, начинающейся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Основные определения

Изложение теории геометрических преобразований начнём с общих определений.

Фигуры F и F₁ называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F₁ так, что для любых двух точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек М₁ и N₁ фигуры F₁ выполняется равенство  = к, где k — одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F₁ оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры Р. Число k называет­ся коэффициентом подобия фигур F и F₁.

Если простыми словами, то подобием плоскости называется ее преобразование, при котором все расстояния между точками умножаются на одно и то же положительное число. Это число k называется коэффициентом подобия.

На рисунке 1 представлен спо­соб построения фигуры F₁, подобной данной фигуре F. Каждой точке М фигуры F сопо­ставляется точка М₁ плоскости так, что точ­ки М и М₁ лежат на луче с началом в неко­торой фиксированной точке О, причем ОМ=к-ОМ₁ (на рисунке 1 к= 1/3). В ре­зультате такого сопоставления получается фигура F₁, подобная фигуре F. В этом слу­чае фигуры F и F₁ называются центрально­подобными.

Примерами подобных четырехугольников являются любые два квадрата, а также два прямоугольника, у которых две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сторонам другого (рис. 2, б).

Примерами подобных фигур произвольной формы являются две географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах, а также фотографии одного и того же предмета, сделанные в разных увеличениях.

Движение

При k=1 преобразование подобия сохраняет расстояния, т.е. является движением. Следовательно, движение – частичный случай преобразования подобия.

Примерами движений плоскости являются осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот. Как пример, напомним определение параллельного переноса.

Пусть  - некоторый вектор плоскости α. Геометрическое преобразование, переводящее каждую точку   в такую точку , что  (рис. 3), называется параллельным переносом на вектор . Параллельный перенос является движением: если точки  и  переходят в  и , т.е.  , , то , и потому .

Свойства движений:

1)    Движение переводит прямую в прямые, а параллельные прямые – в параллельные прямые.

2)    Движение преводит полуплоскость с границей a в полуплоскость с границей a", где a" – образ прямой a.

3)    Движение сохраняет простое отношение трёх точек прямой.

4)    Движение сохраняет отношение «Лежать между».

5)    Движение переводит отрезок AB в отрезок A"B", где A" и B" – образы точек A и B. При этом середина отрезка AB переходит в середину отрезка A"B".

6)    Движение переводит луч в луч, а угол в угол.

7)    Движение переводит угол в равный ему угол.

8)    Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно перпендикулярные прямые.

Гомотетия

Расмотрим пример преобразования подбия, отличного от движения. Зададим точку М₀ и вещественное число m≠0. Каждой точке М плоскости поставим в соответствие точку M" так, чтобы

        (1)

Такое отображение является преобразование плоскости и называется гомотетией. Точка  называется гомотетией. Точка М₀ называется центром гомотетии, а число m – коэффициентом гомотетии. Докажем, что гомотетия – преобразование подобия. Действительно, пусть М₁ и М₂- произвольные точки плоскости, а   и  - их образы. Из равенства (1) получаем: ,    , поэтому

        (2)

Отсюда получаем: || = |m|×|| или  = |m|×.

Таким образом, гомотетия с коэффициентом m является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k=|m|.

При m=1 из равенства (1) получаем: . Отсюда следует, что любая точка М плоскости совпадает с её образом, т.е. гомотетия с коэффициентом m=1 является тождественным преобразованием. При m=-1 из равенства (1) получаем, что гомотетия – центральная симметрия. В остальных случаях (т.е. когда |m|≠1) гомотетия – преобразование подобия, отличное от движения, т.е. преобразование плоскости, не сохраняющее расстояния между точками.

Выберем ортонормированный репер (О, E₁, E₂) так, чтобы точка О совпадала с центром гомотетии. Если М(x, y) – произвольная точка плоскости, а точка М" (x", y") – её образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии:

x"=mx, y"=my          (3)

Свойства гомотетии

Рассмотрим простейшие свойства гомотетии.

1⁰. Гомотетия с коэффициентом m≠1 переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии, — в себя.

Пусть   Ax+Bx+С = 0 — уравнение данной прямой l. Подставив сюда значения х. у из (3), получаем уравнение образа l" этой прямой: Ах"+Ву"+Сm = 0. Этим уравнением определяется прямая. Если С≠0, то  l||l" ,а если С = 0, то l" и l совпадают.

2° Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

Пусть A, В и С — три точки прямой, а A", В" и С" — их образы, µ = (AВ, С) и µ"=(А"В, С"). По определению простого отношения трех точек имеем: ,  . По формуле

(2) получаем:, где m — коэффициент гомотетии. Следовательно, m или .Таким образом, µ" = µ, т. е. (АВ. С) = (A"В", С").

Из этих свойств следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч в луч и полуплоскость в полуплоскость.

З⁰. Гомотетия переводит угол в равный ему угол.

Пусть ВАС — данный угол, а В", А" , С" — образы точек В, А и С. По формуле (2) получаем:     

                                ,

Отсюда следует, что В"А"С" = ВАС.

4°. Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

 Пусть (A, B, С) — произвольный репер, а (А", В", С") — его образ. Используя формулы (4), получаем: (, ) | (, ) = m²>0. Итак, в гомотетии любой репер и его образ ориентированы одинаково, т.е. гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

Подобные треугольники

Введем понятие подобных треугольников.

Пусть у двух треугольников АВС и А₁В₁С₁ углы соответственно равны:  А=А₁,  В=В₁, С=С₁. В этом слу­чае стороны АВ и А₁В₁, ВС и B₁С₁ , СА и С₁А₁  называются сходственными (рис. 4).

Определение

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и сторо­ны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Другими словами, два треуголь­ника подобны, если для них можно ввести обозначения АВС и А₁В₁С₁ так, что

  А=А₁, В=В₁, С=С₁                        (1)

                         (2)      

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольни­ков, называется коэффициентом подобия.

Подобие треугольников АВС и А₁В₁С₁ обозначается так:

∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁

 На рисунке 4 изображены подобные треугольники.

Оказывается, что подобие тре­угольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2). Рассмотрим три признака подобия треугольников.

Признаки подобия треугольников

 Первый признак подобия

Теорема. Если два угла одного треугольника соответ­ственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ — два треугольника, у которых ∠А= ∠А₁ ∠В=∠В₁ (рис. 5). Докажем, что ∆АВС ~ ∆A₁B₁C₁.

По теореме о сумме углов тре­угольника ∠С = 180° - ∠А - ∠В , ∠С₁ =180° - ∠А₁ - ∠B₁ и, значит, ∠С=∠С₁. Таким об­разом, углы треугольника АВС соответ­ственно равны углам треугольника А₁В₁С₁.

Докажем, что стороны треуголь­ника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А₁В₁С₁. Так как ∠А = ∠А₁ и ∠С=∠С₁, то

Из этих   равенств следует, что . Аналогично, используя ра­венства ∠А= ∠А₁ ∠В=∠В₁, получаем .                                                                               
         

Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А₁В₁С₁. Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников

Теорема. Если две стороны одного треугольника про­порциональны двум сторонам другого тре­угольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треуголь­ники подобны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника АВС и A₁B₁C₁ , у которых   , ∠А = ∠А₁ (рис. 6, а). Докажем, что ∆АВС ~ ∆A₁B₁C₁. Для этого, учитывая пер­вый признак подобия треугольников, доста­точно доказать, что ∠В=∠В1.

Рассмотрим треугольник АВС₂, у которого ∠1 = ∠А₁ , ∠2 = ∠В₁ (рис. 6, б). Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому         

       .С другой стороны, по условию                        .

Из этих двух ра­венств получаем АС=АС₂.

Треугольники АВС и АВС₂ равны по двум сторонам и углу между ними (АВ — общая сторона, АС=АС₂ и ∠А=∠1, по­скольку ∠А—∠А₁ и ∠1 = ∠А₁). Отсюда сле­дует, что ∠В=∠2, а так как ∠2 = ∠В₁ то ∠В = ∠В₁. Теорема доказана.

Третий признак подобия треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника про­порциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть стороны треугольников АВС и А₁В₁С₁ пропорциональны:

         (1)

Докажем, что ∆АВС и ∆А₁В₁С₁. Для этого, учитывая второй признак подо­бия треугольников, достаточно доказать, что ∠А=∠А₁ Рассмотрим треугольник АВС₂, у которого ∠1=∠А₁ , ∠2=∠В₁ (см. рис. 6, б). Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия

треугольников, поэтому       .

Сравнивая эти равенства с равен­ствами (1), получаем: ВС=ВС₂, СА=С₂А. Треугольники АВС и АВС₂ равны по трем сторонам. Отсюда следует, что АА=А 1, а так как ∠1 = ∠А₁, то ∠А = ∠А₁ Теорема доказана.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Теорема*. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы.

Пусть AD (рис.7) есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла А на гипотенузу ВС. Требуется доказать следующие три пропорции:

1)  ^BD/_AD = ^AD/_DC ;      

2) ^BC/_AB =  ^AB/_BD ;      

3) ^BC/_AC = ^AC/_DC.      

Первую пропорцию мы докажем из подобия треугольников ABD и ADC. Эти треугольники подобны, потому что

∠1 =∠4 и    ∠2 = ∠3

как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Возьмём в ∆ABD те стороны BD и AD, которые составляют первое отношение доказываемой пропорции; сходственными сторонами в ∆ADC  будут AD и DC, поэтому

BD : AD = AD : DC.

 Чтобы безошибочно определить, какие стороны взятых треугольников сходственны между собой, полезно держаться такого пути:
 1)  указать углы, против которых лежат взятые стороны одного треугольника;
 2)  найти равные им углы в другом треугольнике;
 3)   взять противолежащие им стороны.
   Например, для треугольников ABD и ADC рассуждаем так: в. треугольнике ABD стороны BD и AD лежат против углов 1 и 3; в треугольнике ADC этим углам равны 4 и 2; против них лежат стороны AD и DC. Значит, стороны AD и DC сходственны со сторонами BD и AD.

Вторую пропорцию докажем из подобия треугольников ABC и ABD. Эти треугольники подобны, потому что они прямоугольные и острый угол В у них общий. В ∆ABC возьмём те стороны ВС и АВ, которые составляют первое отношение доказываемой пропорции; сходственными сторонами в ∆ABD будут АВ и BD; поэтому

ВС : АВ = АВ : BD.

Третью пропорцию докажем из подобия треугольников ABC и ADC. Эти треугольники подобны, потому что они оба прямоугольные и имеют общий острый угол С. 

В ∆АВС возьмём стороны ВС и АС; сходственными сторонами в ∆ADC будут АС и DC; поэтому

ВС : АС = AC: DC.

Следствие. Пусть А (рис.8) есть произвольная точка окружности, описанной на диаметре ВС.

Соединив концы диаметра с этой точкой, мы получим прямоугольный ∆ABC, у которого гипотенуза есть диаметр, а катеты есть хорды (по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр). Применяя доказанную выше теорему к этому треугольнику, приходим к следующему заключению:

Перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки окружности на диаметр, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит диаметр, а хорда, соединяющая эту точку с концом диаметра, есть средняя пропорциональная между диаметром и прилежащим к хорде отрезком диаметра.

 Теорема Пифагора. Доказанные выше теоремы позволяют обнаружить замечательное соотношение между сторонами любого прямоугольного треугольника. Это соотношение было впервые замечено греческим геометром Пифагором (VI в. до н. э.) и носит поэтому его имя — теорема   Пифагора.

Если стороны прямоугольного треугольника измерены одной и той же единицей, то квадрат длины  гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть ABC (рис.9) есть прямоугольный треугольник, AD — перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла.

Положим, что стороны и отрезки гипотенузы измерены одной и той же единицей, причём получились числа а, b, с, с" и b" (принято длины сторон треугольника обозначать малыми буквами, соответствующими большим буквам, которыми обозначены противолежащие углы). Применяя теорему*, можем написать пропорции:

а : с = с : с"   и  а : b = b : b",

откуда

ас" = с² и ab" = b².

Сложив  почленно  эти два  равенства,  найдём:

ас" + ab" = с² + b²,    или     а(с" + b") = с² + b².

Но с" + b" = а,  следовательно,

a² = с² + b².

Эту теорему обыкновенно выражают сокращённо так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема Пифагора имеет ещё другую формулировку: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Замечание. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется часто египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Так, их землемеры для построения прямого угла на земной поверхности пользовались таким приёмов: бечёвку посредством узлов они разделяли на 12 равных частей; затем, связав концы, натягивали её на земле (посредством кольев) в виде треугольника со сторонами в 3, 4 и 5 делений; тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.
Прямоугольные треугольники, у которых стороны измеряются целыми числами, носят название пифагоровых треугольников. Можно доказать, что катеты х и у и гипотенуза z таких треугольников выражаются следующими формулами:

х = 2ab,       у = а² — b²,       z = а² + b² , 

где a и b — произвольные целые числа при условии, что а > b.

 Следствие. Квадраты катетов относятся между собой, как прилежащие отрезки гипотенузы. Действительно, из уравнений предыдущего параграфа находим:

c²: b²= ac" : ab" = с": b"

Замечание.   К трём  равенствам, которые  мы  вывели выше:

1) ас" = с²;     2) ab" = b²   и    3) a² = с² + b²,

можно присоединить ещё следующие два:

4) b" + с" = а    и     5)  h² = b"с" "

(если буквой h обозначим длину высоты AD). Из этих равенств третье, как мы видели, составляет следствие первых двух и четвёртого, так что из пяти равенств только четыре независимы; вследствие этого можно по данным двум из шести чисел находить остальные четыре.

Пропорциональные отрезки в круге

Теорема. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.

Доказательство. Пусть хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (рис.10). Треугольники AMC и DMB подобны по двум углам (углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), поэтому AM/DM = CM/BM , откуда AM · BM = CM · DM.

Теорема о касательной и секущей.

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

­Доказательство. Пусть через точку M (рис.11), лежащую вне окружности, проходят две прямые: одна из них касается окружности в точке A, а вторая пересекает эту окружность в точках B и C, причем точка B лежит между точками M и C.

Требуется доказать, что BM · CM = AM² . Соединим точку A с точками B и C. Рассмотрим треугольники AMB и CMA. Угол при вершине M у них общий, а угол BAM — это угол между касательной AM и хордой AB. Он равен половине дуги AB, заключенной между ними. Но половине этой дуги равен и вписанный угол ACB. Поэтому треугольники AMB и CMA подобны по двум углам. Следовательно, AM/CM = BM/AM , откуда

BM · CM = AM².

Глава II. Задачи на применение

Задачи на движение

Задача на построение.

1)    Даны точка О и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром O.

2)   
Даны две прямые a и b.Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью a.

Задача на вычисление.

Вычислить координаты центра поворота, заданного формулами:

Решение. Центр поворота – инвариантная точка, т. е.

Решим систему:

 

умножим второе уравнение системы на 2 и сложим 1 и 2, получим:

6x-15=0 ; x=2,5 ; y=0;

Ответ: x=2,5 ; y=0;

Задача на доказательство.

На сторонах параллелограмма ABCD вне его построены правильные треугольники ABM, BCK, CDP, DAH. Доказать, что точки M,K,P и H  являются вершинами параллелограмма.

Решение. Рассмотрим центральную симметрию (поворот на 180⁰) относительно точки О. Пусть  - центральная симметрия f(B)=D, f(a)=C, f(C)=A.

При центральной симметрии  f, ∆BCK (правильный) перейдет в рамный ему ∆DAH (правильный), по свойствам осевой симметрии (углы сохраняются). Аналогично ∆AMB переходит в ∆CPD.

f(M)=P , f(K)=H  → KO=OH, MO=OP → по признаку параллелограмма,  KPHM– параллелограмм.

Задачи на гомотетию

Задача на доказательство.

Докажите, что все графики функций у=ах² (а≠0) гомотетичны.

Решение. Задача будет решена, если мы покажем что график F_а функции у=ах² гомотетичен графику F функции у=х² (рис.12). Проведем через начало координат О прямую р, заданную уравнением у=кх, к≠0. Прямая р пересечет графики F и F_а в начале координат, а также в точках Х=(к, к²) и

Х_а=(  , ).

И теперь становится ясно, что вектор  =а , т.е. точка Х является образом точки Х_a при гомотетии с центром О и коэффициентом а. А потому и параболу F_a эта гомотетия переводит в параболу F, т.е. эти параболы гомотетичны.

Задача на построение.

В данный треугольник АВС вписать квадрат.

Говорят, что многоугольник вписан в некоторую фигуру, если его вершины лежат на границе этой фигуры.

Решение. Сначала построим какой-нибудь квадрат MNPQ, у которого сторона MN лежит на стороне АВ треугольника АВС, а вершина Q лежит на его стороне АС (рис.13,а).

Пусть луч АР пересекает сторону ВС в некоторой точке Р₁. Рассмотрим теперь гомотетию f с центром А и коэффициентом к=АР₁:АР. Эта гомотетия и переведет квадрат MNPQ в квадрат M₁N₁P₁Q₁, который вписан в треугольник АВС (рис.13,б).

 

Замечание. Решение этой задачи типично для решения задач на построение методом гомотетии. Используя этот метод, сначала строим какую-нибудь фигуру, гомотетичную искомой и удовлетворяющую всем условиям задачи, за исключением какого-либо одного. Затем, выполняя соответствующую гомотетию, находим решение задачи.

Задачи на подобие

Задачи на доказательство.

1)Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

2) Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего основания.

Задача на вычисление.

На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ=5см и АС=16см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD=8см и AF=10см. Подобны ли треугольники ACD и AFB? Ответ обоснуйте.

Задача на построение.

Построить треугольник по двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Построение. Дано: ∠А= α, ∠В=β, CD - биссектриса третьего угла (см. Рис. 14).

Рис. 14

Выберем произвольный отрезок A₁B₁ и строим на нем треугольник ∆А₁В₁С по стороне и двум углам ∠А= α, ∠В=β. В построенном треугольнике проводим биссектрису из угла C, и если она не совпала с указанной в условии биссектрисой, то строим CD. Затем через точку D проводим прямую AB || A₁B₁ до пересечения с продолжениями сторон CA₁ и СB₁ треугольника ∆А₁В₁С. Искомый треугольник ∆АВС построен. Углы ∠А = ∠А₁ = α, ∠В=∠В₁=β как соответственные при параллельных прямых, CD необходимая биссектриса (см. Рис. 15).

Рис. 15

Построено.

Задачи на метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Задачи на построение.

Построить отрезок, средний пропорциональный между двумя отрезками а и b.

Задачу эту можно решить двояким путём:

1) На произвольной прямой (рис.16) откладываем отрезки АВ = а и ВС = b; на АС, как на диаметре, описываем полуокружность; из В восставляем до пересечения с окружностью перпендикуляр BD. Этот перпендикуляр и есть искомая средняя пропорциональная между АВ и ВС.

Рис.16                                    Рис. 17

2)  На произвольной прямой (рис.17) откладываем от точки А отрезки а и b. На большем из этих отрезков описываем полуокружность. Проведя из конца меньшего отрезка перпендикуляр к АВ до пересечения его с окружностью в точке D, соединяем А с D. Хорда AD есть средняя пропорциональная между а и b.

Задачи на пропорциональные отрезки в круге

Задача на доказательство.

Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, причем AM = AC. Докажите, что продолжения высот AA₁ и DD₁ треугольников CAM и BDM пересекаются на окружности.

Решение. Треугольники CAM и BDM подобны по двум углам (рис. 18). По условию один из них равнобедренный, значит, второй также равнобедренный. Высоты равнобедренных треугольников, проведенные к основанию, являются биссектрисами углов при вершинах, т. е. лучи AA₁ и DD₁ биссектрисы равных вписанных углов BAC и BDC. Каждая из этих биссектрис делит дугу BC пополам, следовательно, они проходят через одну точку на окружности середину P дуги BC.

Задача на вычисление.

Из точки M, расположенной вне окружности на расстоянии √7 от центра, проведены касательная MA (A — точка касания) и секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности.

         Рис.19

Решение.

Пусть секущая пересекает окружность с центром O (рис. 19) в точках B и C (B между C и M). Обозначим через x радиус окружности. Тогда BC = x и BM = 2x. Если AM — касательная к окружности, то по теореме о касательной и секущей AM² = BM · CM = 2x · 3x = 6x². С другой стороны, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OAM находим, что AM² = OM² – OA² = 7 – x². Из

уравнения 6x² = 7 – x² находим, что x = 1.

Заключение

В данной курсовой мы изучили преобразование плоскости и рассмотрели его свойства. Узнали что такое движение, что такое гомотетия. Вспомнили признаки подобия треугольников и открыли для себя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и пропорциональные отрезки в круге.

Изучив преобразования плоскости и его свойства рассмотрели различные задачи на построение, на доказательство, и на вычисление. Всё это на основе изученной темы.

Соответственно, поставленные задачи курсовой работы выполнены.

Список литературы.

·        Геометрия, 7-9; Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. – 13-е изд.- М.: Просвещение, 2003.- 384 с.: ил.

·        Геометрия. В2-х ч. Ч.I. Учебное пособие для студентов физ-мат. фак. пед. ин-тов.- М.:Просвещение. 1986.336с.,ил.

·        Геометрия: Учебник для 7-9кл. общеобразоват. учреждений. / Поде редакцией Ф.Я. Цукаря.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1994.- 383 с.: ил.

·        Элементарная математика. Геометрия.  Сканави М.И. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. - 592с.

·        Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: Планиметрия, преобразования плоскости [Текст]: в 2 т. / Я.П. Понарин — М.: МЦНМО, 2004.– 312 с. – 1 т.

·        http://sernam.ru/book_e_math.php?id=26

·        http://oldskola1.narod.ru/KisRibDop/0003.htm