Математические модели при автоматизированном проектировании

Содержание

Введение                                                                        
                                   3

1 Математические модели при автоматизированном проектировании

технологических процессов                                                                       
      4

2 Математическая модель на основе экспериментально взвешиваемой силы резания                                                                                   
                       5

Список литературы                                                                      
                  17

Введение

Математическая модель - один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе. Процесс построения и изучения математических моделей называет-ся математическим моделированием.     

Все естественные и общественные науки, использующие математичес-кий аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменя-ют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математи-ческих методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

1 Математические модели при автоматизированном

проектировании технологических процессов

         Под математической моделью технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производственных условиях. При построении математических моделей используют различные математические средства описания объекта — теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и др.

         Описание математических соотношений на уровнях структурных, логических и количественных свойств принимает конкретные формы в условиях определенного объекта. Например, множество параметров, влияющих на выбор скорости резания при различных методах обработки, можно представить в виде

где Ти - стойкость инструмента, мин; т — показатель относительной стойкости инструмента; t - глубина резания, мм; s - подача, мм/об(мм/зуб, мм/дв. ход, мм/мин); d — диаметр обрабатываемой поверхности или диаметр инструмента; В — ширина обрабатываемой поверхности, мм; cv — коэффициент, характеризующий условия обработки; kv — поправочный коэффициент на скорость резания; х„, yv9 zv9rv — показатели степени. Логические соотношения между приведенными выше параметрами и скоростью резания v имеют вид

причем Ти, m, cv и kv всегда истинны, а истинные значения других переменных зависят от метода обработки резанием. Формулы количественных соотношений между параметрами с учетом истинности их логарифмических значений имеют вид:

         при наружном точении

         При сверлении

Следовательно, формулы представленные выше представляют математические модели расчёта скорости резания.

2 Математическая модель на основе

экспериментально взвешиваемой силы резания

Исходные положения. Основу математической мо­дели в рассматриваемом случае составляет банк данных, фор­мируемый по результатам обширных экспериментальных ис­следований, направленных на взвешивание величины силы ре­зания при планомерно и направленно изменяемых параметрах, составляющих режим резания. В перечень задач для таких ис­следований входят:

1)   анализ системы сил, обеспечивающих резание;

2)  разработка техники и технологии для испытаний и экспе­риментальных измерений, в частности, как силы резания, так и ее составляющих;

3)  составление методики экспериментирования для сбора материалов в банк данных;

4)   формирование метода графико-аналитической обработки экспериментальных данных;

5)   обработка результатов и формирование математической модели процесса резания.

Анализ системы сил. На переднюю поверхность инструмента действуют некоторая нормальная сила N и сила трения F сходящей стружки. В результате упругого восста­новления поверхности резания на задней поверхности инст­румента аналогично действуют возникающие там нормальная сила  и сила трения . В совокупности эти силы уравнове­шивают силу резания. Распределение давления, действующего на рабочие поверхности инструмента, показано на рис. 1.

Наибольшее давление Р_тах действует вблизи главной режу­щей кромки (точка 1) По мере удаления от нее давление убы­вает и в точке 2 равно нулю (здесь прекращается контакт сбе­гающей стружки с инструментом). На заднюю поверхность лезвия также действует неравномерно распределенная нагруз­ка, которая максимальна в точке 1, а в точке 3 равна нулю (прекращение контакта задней поверхности лезвия с поверхно­стью резания), у- передний,

а - задний углы резца.

Рис. 1 Распределение давления на передних и

задних поверхностях лезвия резца

На величину и направление силы резания влияет ряд фак­торов процесса резания. При этом для каждого процесса су­ществует свой логически обоснованный вариант разложения силы резания на составляющие. В частности, при анализе то­чения силу резания раскладывают на три взаимно перпенди кулярных направления (рис. 3). В этой системе Р_г пред­ставляет собой окружную силу, которую считают главной со­ставляющей силы резания. Она действует в направлении тра­ектории главного движения.      Обычно по ее величине определя­ют мощность резания N и крутящий момент М:

N = P_Z V /6x10⁴;

М=P_ZD/2000,

где D - диаметр обтачиваемой поверхности, мм; V - скорость резания, м/мин.

Рис. 2 Составляющие силы резания при точении

По силе Р_к рассчитывается на прочность механизм подачи станка. Р_у - радиальная сила, направленная нормально к об­рабатываемой поверхности. По силам Р_у и Pz рассчитывается деформация обрабатываемой детали и

узлов станка, что в значительной степени влияет на точность и качество обрабо­танной поверхности.

Составляющие силы в нормальных условиях резания, как правило, имеют соотношение:

Р_к = (0,2 ÷ 0,3) Pz ;

Р_у = (0,3 ÷ 0,4) Р_г.

Устройства для сбора опытных данных. В случае резания по методу токарной обработки величину сил, состав­ляющих силу резания, измеряют специальными динамометра­ми, встраиваемыми в линию действия измеряемой силы. Ди­намометры могут быть:

      - трехкомпонентными (для измерения составляющих Pz, Р_у, Р_x );

      - двухкомпонентными (для измерения Pz и Р_у  или  Pz и Р_x);

      - однокомпонентными (обычно для измерения Р_г).

В состав каждого динамометра входят:

а) устройства для разложения равнодействующей силы ре­зания на составляющие;

б)  датчики, служащие для преобразования измеряемой силы в удобно наблюдаемую величину;

в) регистрирующее устройство.

В зависимости от принципа действия датчики бывают элек­трическими, гидравлическими или упругими. В настоящее время наиболее распространены электрические датчики, кото­рые бывают следующих видов.

  1) Датчики сопротивления (тензометры), в которых исполь­зуется свойство проводника электрического тока изменять свое омическое сопротивление при изменении внутреннего напряжения или площади поперечного сечения под действием измеряемой силы. Индуктивные датчики, основанные на ис­пользовании изменения индуктивного сопротивления катушки при изменении зазора или механического напряжения под дей­ствием измеряемой силы.

        2) Емкостные датчики, способные регистрировать измене­ние зазора между пластинами конденсатора, одна из которых упруго деформируется под действием внешней измеряемой силы.

        3) Пьезоэлектрические датчики, основанные на свойстве кристаллов кварца, турмалина или сегнетовой соли образовы­вать на поверхности электрические заряды под действием внешней силы.

Принципиальная схема тензоэлектрического измерительно­го устройства показана на рис. 3.

Рис. 3 Схема измерения силы резания

тензоэлектрическим динамометром

На упругий измеритель элемент 1 подвергаемый воздействию силы  наклеен тензометрический датчик 2. Для измерения сопротивления дат­чика используется мостовая схема из сопротивлений RI, R2, R3 и R4, в которую датчик сопротивлением R1 подсоединя­ется в качестве одного из плеч моста. Упругая деформация измерительного элемента 1 и, соответственно, наклеенного на нем датчика вызывает изменение сопротивления R1. Этим нарушается баланс моста, питаемого напряжением от источника 3. Возникает разность потенциалов между точками А и В моста. Изменение сопротивления R1 пропорционально деформации упру­гого элемента под действием силы  . Усилитель 4, подсоеди­ненный к точкам А и В моста, усиливает сигнал разбаланса, кото­рый затем поступает на регистрирующий прибор 5. Отклонение Н на ленте 6, зафиксированное при резании, можно пересчитать в значение действующей при резании составляющей силы резания Р_г согласно данным тарировки.

Среди динамометров с электрическими датчиками наиболее распространен централизованно выпускаемый универсальный динамометр (УДМ) Е.Н. Мухина. Он позволяет измерять три составляющие силы резания при точении, фрезеровании, а также осевую силу и крутящий момент при сверлении, зенкеровании и т.д.

Если, например, при точении необходимо определить за­висимость от режимов резания только главной составляющей силы резания, то целесообразно воспользоваться однокомпонент­ным динамометром ДК-1 (рис. 4). Динамометр устанавливают на верхних салазках суппорта токарного станка вместо предвари­тельно снятого резцедержателя и закрепляют болтом, проходящим сквозь отверстие А. Резец закрепляют в державке 3, которая соеди­нена с корпусом динамометра 1 двумя торсионными брусками 2.

         Под действием силы P_z резец слегка отжимается вниз, за­кручивая торсионные бруски. При этом находящийся в нижней части прибора конец планки 7, приваренной к державке 3, поднимается, нажимая стержнем 6 на ножку индикатора 5. Перемещение ножки индикатора пропорционально деформации торсионных брусков и. следовательно, вертикальной составляющей силы Р_г. Цена деления индикатора определяется предварительной тарировкой.

Рис.4 Конструкция однокомпонентного динамометра ДК-1

       Сущность методики испытаний. Посредством ис­пытаний стремятся установить связь между силой резания и основными параметрами, совокупность которых охватывает понятие режим резания.

        В том случае, когда для измерения силы используют про­стейший однокомпонентный динамометр, а в числе перемен­ных параметров включены только глубина резания t, подача S и скорость резания v, суть методики испытании сводится к следующему. Последовательно изменяют величину одного па­раметра (например /), а два других (например v и S) оставляют постоянными для серии измерений силы резания. В результа­те получают набор экспериментальных данных для построения графиков в координатах Р_г (Р_Х, Р_у) = (t); Р_г (Р_Х , Ру) =  (S); Р_г (Р_Х, Р_у) = (V).

        Обработка результатов испытаний. Характерной особенностью полученных графических зависимостей являет­ся то, что по своей конфигурации графики близки к теоретиче­ским кривым, имеющих математические уравнения типа

y = В х ^п,

где B и n - численные коэффициенты.

   Это обстоятельство послужило основанием для аппрокси­мации экспериментально получаемых графиков математиче­скими зависимостями:

        Р_г =   × при V, S-const;

Р_г= С"рг × при V, t- const; Р_г = рг × при S, t – const

         Набор этих графиков представлен на рис. 5. Процедура вычисления коэффициентов Cp_z и показателей степеней X, У, n таких функций существенно упрощается после логарифмиро­вания, что наглядно иллюстрируется видом получаемых степенных функций  в логарифмических координатах (рис. 6):

In Р_г = In + In t;

In Р_г = In С"рz +  InS;

In Р_г= In  +  In V.

Рис. 5 Зависимости составляющих силы резания Р_г (Py Р_г )

от режимов резания t, S, V

Полученные уравнения аналогичны уравнениям первой степени вида

V = а + b X.

В этих уравнениях показатели степеней , , функ­ционально отражают влияние на силу резания таких параметров, как t, S и V, а численно они равны тангенсам угла наклона линий Р_г=(t); Р_г = f    2 (S); Р₂ =  (V) к горизонтальной оси (рис. 6):

    Хрz = tg;  = tga₂;  = tgα₃.

     

Соответственно коэффициенты  ,,, предопределяются материалом заготовки и инструмента, условиями обработки и про­чими факторами режима резания, а численно равны составляющей  при единичных значениях V, S, t(V= 1 м/мин; S = 1 мм/об, t = 1 мм). На графиках зависимостей  =f{V, S, t) коэффициент  оценива­ется величиной отрезка, отсекаемого прямой этих зависимостей на осях координат (рис. 6).

Формирование математической модели. На основа­нии обработки экспериментальных данных с учетом графоанали­тического анализа установлено, что составляющие силы резания, например, при точении могут быть вычислены по следующим урав­нениям:

 =××××;

Р_х = С_Рх × t^Хрх × S^Ypx ×  ×;

P_Y = С_Рy × t^Хру × S^Ypy ×  ×,

где   С_Рy , С_Рх - постоянные коэффициенты, зависящие от фи­зико-механических свойств материала заготовки и условий об­работки;  , ,  , ,  , Х_Рx,  ,- показатели степеней, учитывающие влияние режимов резания:

Кр_х, Кру, Кр_Z - поправочные коэффициенты, учитывающие из­менение условий резания, по сравнению с нормативными.

Рис. 6 Зависимости составляющих силы резания  (Ру, Рх)

от режимов резания t, S, V в логарифмических координатах

Система уравнений (2.17) представляет собой матемаггоческую модель резания, опирающуюся на крупный массив предварительных экспериментальных работ, что. в свою очередь, связано с крупными производственными затратами.

Основное достоинство этой математической модели в том, что установлена математическая связь между силой резания и ос­новными параметрами: глубиной резания, подачей и скоро­стью резания. Тем более что процесс обработки резанием на­чинают, предварительно назначив t и S, а для скорости резания отдельно сформирована эмпирическая зависимость типа

v =  / ,

где Су - табличный коэффициент, характеризующий обраба­тываемый материал при определенных условиях работы; х, у - табличные показатели степени, численные значения которых установлены для каждой группы обрабатываемых материалов при конкретных диапазонах изменения глубины резания t и подачи S.

На основании уравнения (2.19) при назначенных величинах / и S предварительно вычисляют скорость резания. Это най­денное значение скорости является ориентировочным, и его используют для прикидочного вычисления требуемого числа оборотов п инструмента или детали (в зависимости от способа резания). Например, как уже упоминалось, при токарной обра­ботке скорость резания

v = π D п/ 1000, откуда п = 1000 v/πD

Полученное число п сверяют с имеющимся набором чисел оборотов станка, на котором будет реализовываться резание. Выбрав число оборотов, ближайшее к расчетному, обратным вычислением уточняют скорость, которая будет иметь место при резании, и это же значение скорости используют в уравне­ниях (2.17) для вычисления силы резания.

   В перечень недостатков системы уравнений (2.17) входят:

а) уравнения, составляющие эту математическую модель, не имеют физического смысла;

б) расчет силы резания отягощен большим объемом рутинной ра­боты. связанной с необходимостью выбирать по таблицам справоч­ников большое количество численных значений коэффициентов и показателей степени;

в) результат вычисления по уравнениям (2.17), в конечном счёте, даёт весьма приблизительное значение силы резания по целому ряду причин. Основные причины следующие.

         1) Сама по себе аппроксимация, то есть приближение экс­периментального графика к теоретическому графику, имею­щему математическое описание в виде степенной зависимости, сопровождается вполне конкретным несовпадением сближае­мых кривых. Несовпадение графиков оценивается величиной погрешности, которая даже в первом приближении может вы­ходить за пределы, приемлемые для инженерных расчётов.

         2) Дополнительные погрешности вносит методика гра­фоаналитических построений уравнения.

          3) Очень большое число таблично представленных коэф­фициентов при грубо упрощённой классификации как мате­риалов инструмента (типа «твёрдый сплав», «быстрорежущая сталь»), так и обрабатываемых материалов (типа «сталь», «чу­гун»).

         Наличие дополнительных коэффициентов, характери­зующих взаимно связанные показатели: коэффициент, учиты­вающий износ инструмента; коэффициент, учитывающий стойкость инструмента; коэффициент, учитывающий, напри­мер, величину главного угла в плане резца, хотя этот угол по своей сути предопределяет длину участка лезвия, непосредст­венно участвующей в резании, а лезвие, в свою очередь, под­вергается износу.

         Несмотря на указанные недостатки, эта математическая модель наиболее часто реализуется в инженерной практике. Это объясняется тем, что погрешность расчета силы резания компенсируют повыше­нием запаса конструктивной прочности режущего инструмента, электродвигатель станка берут с несколько завышенной мощностью, а также реализуют ряд других конструкторско-технологических приемов. То есть неточность расчетов по сформированной матема­тической модели компенсируют бесплодным завышением количе­ства энергии, вводимой в процесс резания.

Список литературы

1. Резание материалов И.А.Чечета, В.И.Гунин, О.Н. Кириллов

2. Справочник технолога машиностроителя А.Г.Косилова