Абстрактный синтез конечного автомата

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Абстрактный синтез конечного автомата

1.1 Формирование алфавитного оператора

1.2 Приведение оператора к автоматному виду

1.3 Построение графа переходов абстрактного автомата

1.4 Минимизация абстрактного автомата

2. Структурный синтез конечного автомата

2.1 Кодирование состояний, входных и выходных сигналов

2.2 Формирование функций возбуждения и выходных сигналов структурного автомата

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Теория автоматов – это теория, на которой основаны экспериментальные методы исследования в кибернетике. При подходе к теории автоматов, как к части теории алгоритмов, центральной проблемой является изучение возможностей автоматов в терминах множеств слов, с которыми работают автоматы.

Можно выделить два основных аспекта работы автомата.

1.                Автоматы-распознаватели, которые распознают входные слова, т.е. отвечают на вопрос, принадлежит ли поданное на вход слово данному множеству.

2.                Автоматы-преобразователи, которые преобразуют входные слова в выходные, т.е. реализуют автоматные отображения.

Одной из задач теории автоматов является задача описания автомата и его реализации, т.е. представления автомата как структуры, состоящей из объектов фиксированной сложности. В этом отношении теория автоматов оказалось наиболее развитой ветвью теории алгоритмов.

Общая теория автоматов подразделяется на абстрактную теорию и структурную теорию автоматов. Абстрактная теория автоматов занимает промежуточное положение между алгеброй и логикой. С точки зрения приложений значение абстрактной теории автоматов отнюдь не сводится к удовлетворению запросов одной лишь вычислительной техники. Современная теория автоматов представляет собой математический аппарат для решения широкого класса комбинаторных проблем.

Структурная теория автоматов позволяет реализовать абстрактный автомат на элементах, принадлежащих к заранее заданному классу.

Для преобразования дискретной информации в различных областях техники используются цифровые автоматы. К цифровым автоматам относятся отдельные узлы и блоки специализированных и универсальных ЦВМ и ЦВМ в целом. Цифровыми автоматами могут быть названы также устройства, в автоматике, телемеханике, радиолокации и других областях техники, в которых требуется выполнять преобразование над сигналами, представленные в дискретной (цифровой) форме.

Первое правило функционирования автоматов заключается в следующем. Автомат необязательно должен запоминать входные истории. Вполне достаточно, чтобы автомат запомнил класс эквивалентностей, к которому приходится данная история.

Второе правило функционирования автоматов состоит в том, что на один и тот же входной сигнал конечный автомат может реагировать по-разному, в зависимости от того, в каком состоянии он находится в настоящий момент.

Конечный автомат - это устройство, работающее в дискретные моменты времени, или такты. На вход конечного автомата в каждом такте поступает один из возможных входных сигналов, а на его выходе появляется выходной сигнал, являющийся функцией его текущего состояния и поступившего входного сигнала.

Внутренние состояния автомата также меняются. Моменты срабатывания (такты), определяются либо принудительно тактирующими синхросигналами, либо асинхронно, наступлением внешнего события, то есть приходом сигнала.

Существует два вида реализации конечного автомата - аппаратная и программная. В первую очередь, реализация конечного автомата требует построения устройства памяти для запоминания текущего состояния автомата. Обычно используются двоичные элементы памяти, или триггеры, запоминающие значение одного двоичного разряда.

1. АБСТРАКТНЫЙ СИНТЕЗ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА

 

1.1 Формирование алфавитного оператора

 

Для определения параметров задания необходимо ввести первичную информацию:

- порядковый номер в журнале;

- год поступления;

- номер группы;

Для данного задания это соответственно:

21, 08, 02.

Из этих цифр необходимо составить правильную десятичную дробь, в которой эти цифры следуют сразу после запятой:

 Y1= 0,210802

Вторичная информация Y,Y3 ,Y4 получаются путем возведения 1 в степени 2, 3, 4 и удалением в дроби всех нулей между запятой и первой значимой цифрой.

Y2 = 0,444374

Y3 = 0,93675

Y4 = 0,19747

Для получения значений входных и выходных сигналов автомата необходимо полученные десятичные дроби преобразовать в двоичный код до шестнадцатого знака.

В результате преобразований получены следующие значения заданных сигналов.

Y1 = 0011010111110111

Y2 = 0111000111000010

Y3 = 1110111111001110

Y4 = 0011001010001101

Полученные значения записываются в столбцах: первые 8 значений в левой части, вторые 8 – в правой части. Алфавитный оператор соответствия представлен в таблице 1.

Таблица 1. Алфавитный оператор соответствия

1.2 Приведение оператора к автоматному виду

Для того чтобы оператор преобразовался к автоматному виду, необходимо выполнение трех условий:

1. Любым двум одинаковым начальным отрезкам входных слов должны соответствовать одинаковые начальные отрезки выходных слов;

2. Длина входного слова должна равняться длине выходного слова;

3. Последний символ должен возвращать автомат в начальное состояние.

Данный оператор уже выровнен, так как длина каждого из входных слов равна длине соответствующего выходного слова. Каждому входному слову здесь сопоставляются не более одного выходного слова, поэтому оператор однозначен. Однако он не удовлетворяет условию полноты.

Таким образом, автоматный вид оператора примет, следующий вид:

Таблица 2. Автоматный вид

1.3 Построение графа переходов абстрактного автомата

 

Построим по таблице 2 граф переходов автомата. При этом предполагается, что последний символ каждого входного слова должен переводит автомат в начальное состояние.

Граф переходов абстрактного автомата представлен в приложении 1.

1.4 Минимизация абстрактного автомата

По графу переходов построим таблицу переходов-выходов заданного автомата (таблица 3).

Таблица 3. Таблица переходов-выходов автомата

Один из алгоритмов минимизации полностью определенных автоматов заключается в следующем. Множество состояний исходного абстрактного автомата разбивается на попарно пересекающиеся классы эквивалентных состояний, далее каждый класс эквивалентности заменяется одним состоянием. В результате получается минимальный автомат, имеющий столько же состояний, на сколько классов эквивалентности разбиваются исходные состояния автомата.

0 класс эквивалентности:

1 класс эквивалентности:

2 класс эквивалентности:

Из разбиения видно, что классы 1 и 2 совпадают, значит, продолжать не имеет смысла.

Таблица переходов-выходов минимизированного автомата представлена в таблице 4:

Таблица 4. Таблица переходов-выходов минимизированного автомата

Граф переходов минимизированного автомата представлен в приложении 2.

2. СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА

 

2.1 Кодирование состояний, входных и выходных сигналов

Для кодирования состояний, входных и выходных сигналов конечного автомата, необходимо вычислить число элементов памяти:

а) рассчитаем число элементов памяти: Н = ] log₂h [, где h - число состояний после минимизации D = {}

H = ] log₂ 12 [ = 4

б) рассчитаем число входных (L) и выходных (М) шин:
L = ] log₂n[

М =] log₂m [,

где n, m - число букв входного и выходного алфавитов

Z = {0, 1} L = ] log₂ 2 [ = 1

W = {0, 1} M = ] log₂ 2 [ = 1

Из приведённого выше следует, что для кодирования состояний необходимо 4 элемента памяти, обозначим их Q₀, …, Q₃. Закодируем состояния (таблица 5) случайными кодами.

Таблица 5. Таблица кодированных состояний

2.2 Формирование функций возбуждения и выходных сигналов структурного автомата

По минимизированному графу переходов абстрактного автомата (Приложение 2) можно составить таблицу переходов, выходных сигналов и сигналов возбуждения D-триггеров автомата Мили (таблица 6), Т-триггеров автомата Мили (таблица 7), RS-триггеров (таблица 8), JK-триггеров (таблица 9).

D-триггер – элемент задержки – имеет один информационный вход D и один выход Q и осуществляет задержку поступившего на его вход сигнала на один такт. Состояние, в которое переходит триггер, совпадает с поступившим на его вход сигналом D(t).

Таблица 6. Таблица переходов, выходных сигналов и сигналов возбуждения D-триггеров

Из таблицы следует, что выходные сигналы автомата Мили описываются следующими выражениями:

= d₂0 Úd₂1 Úd₅0 Úd₆0 Úd₈0 Úd₈1 Úd₁₀1= d₂ Úd₅0 Úd₆0 Úd₈ Úd₁₀1

= d₀0 Úd₀1 Úd₁0 Úd₁1 Úd₃1 Úd₄1 Úd₅1 Úd₇1 Úd₉0= d₀ Úd₁ Úd₃1 Úd₄1 Úd₅1 Úd₇1 Úd₉0

Также следует, что сигналы возбуждения D-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:

D₃ = d₂1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₆0 Úd₇1 Úd₈0 Úd₉0 Úd₁₀1= d₂1 Úd₅ Úd₆0 Úd₇1 Úd₈0 Úd₉0 Úd₁₀1

D₂ = d₁1 Úd₂0 Úd₃1 Úd₄1 Úd₈1

D₁ = d₀1 Úd₁0 Úd₂0 Úd₄1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₆0 Úd₈0 Úd₉0 Úd₁₀1=

 =d₀1 Úd₁0 Úd₂0 Úd₄1 Ú d₅Ú d₆0 Úd₈0 Úd₉0 Úd₁₀1

D₀ = d₀0 Úd₁0 Úd₂0 Úd₃1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₆0 Úd₇1 Úd₈1 Úd₉0 Úd₁₀1=

 =d₀0 Úd₁0 Úd₂0 Úd₃1 Úd₅ Úd₆0 Úd₇1 Úd₈1 Úd₉0 Úd₁₀1

 

 Функциональная схема автомата Мили на D-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 3.

Таблица 7. Таблица переходов, выходных сигналов и сигналов возбуждения T-триггеров

Из таблицы следует, что сигналы возбуждения T-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:

T₃ = d₂1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₆0 Úd₇1 Úd₈1= d₂1 Ú d₅ Úd₆0 Úd₇1 Úd₈1

T₂ = d₁1 Úd₂0 Úd₃1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₆0 Úd₇1 Úd₈1= d₁1 Úd₂0 Úd₃1 Úd₅ Úd₆0 Úd₇1 Úd₈1

T₁ = d₀1 Úd₁0 Úd₂1 Úd₃1 Úd₄1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₇1 Úd₈0 Úd₉0= d₀1 Úd₁0 Úd₂1 Úd₃1 Úd₄1 Úd₅ Úd₇1 Úd₈0 Úd₉0

T₀ = d₀0 Úd₂0 Úd₆0 Úd₈1 Úd₁₀1

Функциональная схема автомата Мили на T-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 4.

Таблица 8. Таблица переходов и сигналов возбуждения RS-триггеров

Из таблицы следует, что сигналы возбуждения RS-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:

R₃ = d₈1

S₃ = d₂1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₆0 Úd₇1 Úd₉0= d₂1 Úd₅ Úd₆0 Úd₇1 Úd₉0

R₂ = d₅0 Úd₅1 Úd₆0 Úd₇1= d₅ Úd₆0 Úd₇1

S₂ = d₁1 Úd₂0 Úd₃1 Úd₈1

R₁ = d₂1 Úd₃1 Úd₇1

S₁ = d₀1 Úd₁0 Úd₄1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₈0= d₀1 Úd₁0 Úd₄1 Úd₅ Úd₈0

R₀ = d₁1

S₀ = d₀0 Úd₂0 Úd₆0 Úd₈1 Úd₁₀1

Функциональная схема автомата Мили на RS-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 5.

Таблица 9. Таблица переходов и сигналов возбуждения JK-триггеров

Из таблицы следует, что сигналы возбуждения RS-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:

J₃ = d₂1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₆0 Úd₇1 Úd₉0= d₂1 Úd₅ Úd₆0 Úd₇1 Úd₉0

K₃ = d₈1

J₂ = d₁1 Úd₂0 Úd₃1 Úd₈1

K₂ = d₅0 Úd₅1 Úd₆0 Úd₇1= d₅ Úd₆0 Úd₇1

J₁ = d₀1 Úd₁0 Úd₄1 Úd₅0 Úd₅1 Úd₈0= d₀1 Úd₁0 Úd₄1 Úd₅ Úd₈0

K₁ = d₂1 d₃1 d₇1

J₀ = d₀0 Úd₂0 Úd₆0 Úd₈1 Úd₁₀1

K₀ = d₁1

Функциональная схема автомата Мили на JK-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 6.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения работы мной были закреплены знания о синтезе конечных автоматов и получена практика в построении комбинационных схем.

В данной работе мной было выполнено проектирование конечного автомата по алфавитному отображению с использованием канонического метода структурного синтеза автоматов. Построены граф переходов абстрактного автомата с 17 состояниями и таблицы переходов-выходов. Минимизация состояний автомата выполнена путем разбиения на группы эквивалентных между собой состояний. После чего был построен минимальный граф Мили с 11 состояниями. Выполнен структурный синтез конечного автомата. Построены функциональные схемы автомата Мили на D, T, RS и JK-триггерах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.                 Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов (граф-схемы и автоматы). – 2-е изд., перераб. и доп. – Л.: Энергия, 1979. – 232 с., ил.

2.                 Дегтярев В.М., Ерош И.Л., Михайлов В.В. Проектирование цифровых автоматов.-Л.:ЛИАП, 1974г.

3.                 Козин И.В., Иванов Н.М., Лупал А.М. Проектирование управляющих автоматов по алфавитному отображению. Учебное пособие по курсовому проектированию/ЛИАП. – Л., 1991. – 82 с., ил.

4.                 Лупал А.М. Теория автоматов. Учебное пособие/СПбГУАП. – СПб., 2000. – 120 с., ил.

5.                 Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. Учебник для вузов по спец. «Электронные вычислительные машины». – 2-е изд., перераб. и доп. – Мн.: Выш. школа, 1980. – 336 с., ил.

6.                 Конспект лекций по дисциплине «Теория автоматов», преподаватель Глебов Е.А., 2005-2006 уч.г.