Содержание
Введение
Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения
§ 3. Доказательство теоремы
Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)
Литература
Введение
В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A12<…k+1, такие, что
а) ;
б) знаки функции D(t) на множествах A1, A2, …, Ak+1 перемежаются.
Пусть f(t) и g(t) – функции на R1. Пишем , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.
Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда
а) не
существует точки x1, …, xk (-¥
(-1)k-i f(xi) > (-1)k-i g(xi), ;
б) существуют
точки y1, …, yk (-¥
(-1)k-i f(yi) > (-1)k-i g(yi), .
Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, g Î F.
Определение 2. Пишем , если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений: , ,, .
Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено и не выполнено .
Через Ik- (Ik+), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+) в F.
Пусть U – семейство функций на [0, ¥).
Через FU обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы
, uÎU,
абсолютно сходятся.
В случае положим , fÎFU, AÌFU, :
, Fi(A)={Fi(f): fÎA},
, ,
.
Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .
Лемма 1. Пусть системы u1(t), …, un(t) и u1(t), …, un(t), un+1(t) образуют T+-системы на [0, ¥) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то
.
Доказательство. Допустим, что , где k£n, и A1, …, Ak – множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов рассмотрим матрицу
.
Так как
, ,
то есть
, (1)
где di(-1)k-i, и di=0, для всех векторов .
Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим
, (2)
где 0£x1
Пусть теперь и .
Так как
, (3)
где di=(-1)n+1-i, , то
,
где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством dn+1=1 это означает, что d>0.
Определение 3. Скажем, что последовательность {fi}i³1 функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f , если
для всех uÎU.
Определение 4. Множество AÌFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .
Множество AÌFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.
Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF;
2. ;
3. Множества Ik- (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Из любой последовательности {fi}i³1ÌI-k+1 (k>n) такой, что
,
можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .
Пусть система образует T+ - систему на [0, ¥).
Рассмотрим систему функций , такую, что wi=ui для и - T+ - системы для m³n (см. [1]).
Теорема 1. Пусть система образует T+ - систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
.
Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj}j³1ÌIk- такая, что . Зафиксируем произвольное fl.
Если flÎIk-, где k£n+1, то положим fl*=fl.
Пусть k>n+1 и s={} – (k-1, W) окрестность fl в Ik-.
Рассмотрим произвольные и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для s£k-1. Следовательно, и , что невозможно.
Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в Rk-1, содержащее .
Пусть , и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x1, …, xk-2. Условие bk-1=0 противоречит чебышевости системы . Положим bk-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk-2.
Имеем
,
где cli – i-ая компонента вектора , и, следовательно,
.
Так как константа К не зависит от f, то ml >-¥.
Кроме того, .
Возьмем последовательность , такую, что
Fk-1(flp)>Fk-1(flq)=ml при p , Рассмотрим
произвольные flp и flq, где p Так как , то найдется
функция ,
такая, что Fk-1(fl^)=ml. Отношение fl^ÎIk- невозможно, в силу определения числа ml и принципа
инвариативности области. Отношения fl^ÎIm- для m Продолжая
таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия следует
утверждение теоремы 1. Замечание 1.
Класс F
непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с
дефектом n,
если: 1. Класс F равномерно ограничен; 2. ; 3. Множества Ik+ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1; 4. Для k>n из любой
последовательности {fi}i³1ÌIk+ такой, что , можно
выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к
некоторой функции ; 5. Ik+ÌFU для k³n+1. Теорема 2.
Пусть система образует T+-систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда . Определение
6. Систему непрерывных
на [0, ¥) функций назовем T+1-системой, если она
является T+-системой, и, кроме того, системы u1, …, ul-1, ul+1, …, un также являются T+-системами для . Лемма 2.
Пусть - T+1-система на [0, ¥), функции f и g таковы, что (-1)n-i
Fi(f) ³ (-1)n-i Fi(g),
. Тогда
отношения ,
и , , невозможны. Доказательство.
Допустим, что имеет место отношение и 1£p£n. Пусть x1, …, xp-1 (-¥ , (4) где hi=±1. Из условия следует, что hn=1. С другой стороны, из
(4) получаем , где А –
матрица, записанная в (4) слева, Ani – матрица, получаемая из
А удалением i-ой
строки и n-го
столбца. Так как - T+1-система на [0, ¥), то detA>0, detAni>0, . Следовательно, hn£0. Получили противоречие. Случай , ,
рассматривается аналогично. Теорема 3.
Пусть - T+1-система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда . Доказательство.
Пусть .
Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и для , j³1. Согласно
теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что . Существует j1, такое, что , где r - какая-либо метрика в Rn, и , . Выберем j2 так, чтобы и , . Продолжая
таким образом, получим последовательность такую, что и (5) Рассмотрим
произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу
условий . Из неравенств
(5), в силу леммы 2, имеем , т. е.
существует функция такая, что . Включение противоречит
условию ,
в силу принципа инвариативности области. §
1 Экстремальная задача Пусть Â – некоторый класс
функций распределения (ФР) на [a, b], -¥(k)(t)>0 для tÎ[a,
b] и ; c1, …, cn – вещественные
константы; xÎ[a, b]. Экстремальная
задача. Найти супремум и инфимум интеграла на множестве ФР из Â, удовлетворяющих
ограничениям , . Для классов Âo - всех ФР на [a, b] и ВL – ФР на [a, b], удовлетворяющих
условию , -¥ Важность
решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 -
5]. Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов. Анализ задачи
на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы
видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР. Ниже
предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение
индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие
важные классы ФР, например, Âo, BL, класс унимодальных ФР
на [a,
b] и др. Обозначим (k³1, AÌÂ, sÎÂ): Ik+ (Ik-) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k+ (k-); ; - пространство моментов
порядка k;
; ; , . Основной
результат работы содержится в утверждении. Теорема.
Пусть , . Тогда: 1.
, 2.
, 3.
, 4.
. § 2 Свойства отображения Нам
понадобятся два факта из [6]. 1. Для любого
существует и единственная
ФР . 2. Если , то множество одноэлементно. Если , то существуют
непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок Þ обозначает слабую
сходимость)) и ФР такие, что ,, , для aÎ(0,1) и для bÎ(0,1). Пусть и , где , xÎ[a, b]. Функция Ás непрерывна слева на [a, b] и Ás(a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a,
b], то Ás(x) не убывает по x. Далее, из skÞs при k®¥ следует ÁÞÁs. Следовательно,
семейства распределений {Á} и {Á} непрерывны. Определение
1. Функция f
имеет на [a,
b] m строгих перемен знака,
если существуют множества B0(f)<…m(f) (под X Лемма 1. Для
любого распределения Á (Á) и для любого Ám, , функция Ám - Á(Ám - Á) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака
на [a,
b]. Доказательство.
Предположим, что функция Ám - Áимеет более n+2 строгих перемен знака.
Тогда существуют a Равенство запишем в виде Ás(t)=ci, , где , , с0
= 1. Очевидно, что
последовательности u0, …, uk, , образуют T+ - системы на [a, b]. Из условия W(k)(t)>0 для tÎ[a,
b] и следует (см. [1]), что
последовательности –u0, …,-uk , также образуют T+ - системы.
Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Ám - Áне может иметь n+1 строгих перемен знака. Пусть функция
f(t) имеет k строгих перемен знака на
[a, b]. Наряду с множествами Bi(f) строгого
знакопостоянства рассмотрим множества P0(f)=(-¥, infB1(f)], Pi(f)=[supBi-1(f), infBi+1(f)], , Pk(f)=[supBk-1(f), +¥). Зафиксируем
ФР .
Рассмотрим два класса функций {Da=Ás - Á:aÎ[0,1]} и {db=Ás - Á:bÎ[0,1]}. Число a (число b) назовем: параметром
первого типа, если функция Da (db) имеет n+2 строгих перемен знака
(в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция Da (db) отрицательна
(положительна)); параметром второго типа, если функция Da (db) имеет n+1 строгих перемен знака,
причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна;
параметром третьего типа, если функция Da (db) имеет n+1 перемен знака, причем
на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна. Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0(a), …, Xn+2(a) (Y0(b), …, Yn+2(b)) следующим образом.
Если a
(b)
есть: 1.параметр первого типа, то Xi(a)=Pi(Da), (Yi(b)=Pi(db), ); 2. 3.параметр второго типа, то Xi(a)=Pi-1(Da), , X0(a)=(-¥, infB0(Da)], (Yi(b)=Pi(db), , Yn+2(b)=(supBn+1(db), +¥)); 4.параметр третьего типа,
то Xi(a)=Pi(Da), , Xn+2(a)=[supBn+1(Da), +¥)), (Yi(b)=Pi-1(db), , Y0(b)=(-¥, infB0(db)]). Таким
образом: (-1)n-iDa(t)£0 при tÎIntXi(a), , (1) (-1)n-idb(t)³0 при tÎIntYi(b), . При этом ни
для какого i
не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntXi(a) и (-1)n-iDa(t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntYi(b) и (-1)n-idb(t)³0 при tÎY. Заметим
также, что Xi(0)=Yi+1(0), Xi+1(1)=Yi(1). Определение
2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR1 непрерывно, если из gi®g0, xi®x0, где g0, gi Î[0, 1], xiÎZ(gi), i³1, следует x0ÎZ(g0). Лемма 2.
Отображения Xi(a), Yi(b), непрерывны. Доказательство.
Пусть aj®a, j®¥. Обозначим через границы отрезка Xi(aj). Определим a0=-¥. Возьмем произвольную точку a1 сгущения
последовательности {a1(j)}j³1. Пусть для удобства . Проделаем ту
же операцию с последовательностями {ai(j)}j³1, и {bi(j)}j³1, . Положим bn+2=+¥. Итак, , , (2) причем -¥=a01£b0£a2£b1£…£an+1£bn£an+2£bn+1n+2=+¥. (-1)n-iDa(t)£0 (3) при tÎ(ai, bi), если ai¹bi. Из (3) и следует, что ai¹bi, , так как в противном случае
функция Da имело бы не более n строгих перемен знака,
что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi(a) следует [ai, bi]ÌXi(a),. Для любого i из xjÎ[ai(j), bi(j)] и xj®x0 вытекает, что x0Î[ai, bi]. Следовательно, x0ÎXi(a). Непрерывность
отображений Yi(b) доказывается аналогично. §
3 Доказательство теоремы В случае утверждение
теоремы очевидно. Пусть . Лемма 3. Для
любого ФР и
любой точки xÎ[a, b] существует ФР такая, что Áv(t)³Ás(t) (Áv(t)£Ás(t)) в некоторой
окрестности точки x. Доказательство.
Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎYi(0), то в некоторой
окрестности точки x имеет место d0£0. В этом случае положим . Пусть
существует i
такое, что n-i четно и xÎYi(0). Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏYi(1). Пусть . Согласно лемме 2, xÎYi(b¢). В силу сделанного предположения, b¢<1 и, следовательно,
существует последовательность {bj}j³1 такая, что xÎYi(bj) и bj®b¢. Пусть для некоторого bl не существует такого k, что n-k четно и xÎYk(bl). Тогда в некоторой окрестности
точки x. В этом случае полагаем . Если же для всех bj, j³1, существует kj такие, что n-kj четны и , то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎYm(bj) для бесконечного числа
элементов последовательности {bj}. По лемме 2 xÎYm(b¢). Так как n-i и n-m
четны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎYi(b¢). б)
Предположим, что xÎYi(1)=Xi+1(1). Пусть a¢=inf{a:xÎXi+1(a)}. Согласно лемме 2, xÎXi+1(a¢). Если a¢=0, то xÎXi+1(0)=Yi+2(0). Это противоречит
условию xÎXi+1(a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично
приведенному в а). Случай II, i=n+2. а) При x¹Yn+2(1) доказательство
аналогично доказательству пункта а) случая I. б) Пусть xÎYn+2(1). Так как Yn+2(1)ÌYn+1(1), то xÎYn+1(1). Точка x не может совпадать с
левым концом отрезка Yn+1(1), так как в этом случае множества Yn+1(1) и Yn+2(1) совпадают, что
невозможно. Так как xÎYn+1(1) и не совпадает с
левым концом отрезка Yn+1(1), то d1(t)£0 в некоторой окрестности
точки x. В этом случае полагаем . Итак,
доказано существование такой ФР , что Ás-Án£0 в некоторой окрестности
точки x.
Случай Ás-Án³0 рассматривается
аналогично. Теорема
следует из леммы 3 и утверждения: Ás(x) и Ás(x+0) достижимы. Докажем
последнее. Пусть d=Ás(x) . Пусть
последовательность ФР , i³1,
такова, что Á. Выберем подпоследовательность
последовательности {si}, слабо сходящуюся к
некоторой ФР . Покажем, что Ás(x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢ Глава
2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥) В настоящей
работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к
решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥). Чебышевская
экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на
[0, ¥), системы u0º1 на [0, ¥) функций образуют T+-системы на [0, ¥). Положим (1£i£n, sÎÂ): , , - моментное пространство
класса Â относительно системы . Пусть . Найти , где . 10.
Первый подход заключается в урезании справа класса Â в точке x>0, наложении условий,
при которых задача на «урезанном» классе Âх решается, и в переносе
предельным переходом x®¥ решения на класс Â. Для любого x>0 введем подкласс
класса Â: Âх={sÎÂ:s(x+0)=1}. Очевидно, для
любых x1 (1) Предположим,
что для любого x>0 Âх - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]). Примерами
таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на
[0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x Перечисленные
выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено
включение (-замыкание
множества XÌRn), где Ii- - множество всех ФР,
имеющих индекс i- в Â. Кроме того,
для этих классов справедливо включение , и следовательно, (2) Лемма 1. . Доказательство.
Пусть .
Из выпуклости множества следует, что точка является внутренней
точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа l1>0, …, ln>0, ln+1>0 такие, что . Из (2)
следует существование последовательностей , таких, что . Тогда для
достаточно больших k выполнено равенство , где , . Следовательно,
. Из леммы 1
следует, что для достаточно больших x. Так как класс Âx является индексационным на [0, x], то ([5]) , , где , () – ФР с нижним
(верхним) индексом n+1 в классе Âx. . Из (1)
следует, что . Вид
экстремальных ФР и для рассматриваемых классов
имеется в [5]. 20.
Второй подход продемонстрируем на примере класса Â0 всех ФР на [0, ¥). Лемма 2. Если
u0, u1, …, un – T+-система на [0, ¥), то для всех i и j существуют пределы . Доказательство.
Из определения T+-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a, b функции uj(t) и auj(t)+buj(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках. Пусть х –
наибольшее решение уравнения uj(t)=0. Рассмотрим уравнение auj(t)+buj(t)=0, t>x. (3) Уравнение (ui(t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a, b. Пусть , . Допустим, что
не
существует, т. е. А Введем
последовательности {ti}i³1, {ti}i³1, удовлетворяющие
условиям: а) tk®¥, tk®¥ при k®¥; б) , ; в) t1 Пусть cÎ(A,
B). Из-за
непрерывности функции на (x, ¥) уравнение имеет
бесконечное множество решений на (x, ¥). Выберем 0£j0£n так, чтобы для всех и обозначим . Пусть число t0 таково, что при t>t0. Рассмотрим
функцию Пусть , , . Легко видеть,
что системы v0, v1, …, vn и v0, v1, …, vn, W
являются T+-системами на [0, ¥). Предположим,
что эти системы являются T+-системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t0 , , где . Через обозначим
множество ФР sÎÂ0, для которых интегралы , , абсолютно
сходятся. Пусть - моментное
пространство класса относительно системы . Рассмотрим
класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций . Имеем , т. е. . Заметим, что
отображение является взаимно однозначным,
причем . Таким
образом, -
множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на
[0, ¥). Пусть . Необходимо
найти . (4) Из равенств (sÎÂ0U) следует, что
задача (4) эквивалентна следующей. , (5) где - множество
функций ,
удовлетворяющих равенствам , , . Таким образом,
задача в классе Â0 сведена к задаче (5), решение которой приведено,
например, в [3]. Именно для
любого , где - ступенчатая функция,
имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n, - ступенчатая функция,
имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n. , , где , , r
- величина скачка функции в точке ¥. Литература 1. Крейн М.Г., Нудельман
А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973. 2.
Таталян
К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс.
на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988. 3. Карлин С., Стадден В.
Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука,
1976. 4. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р.
О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн.
трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988. 5. Манукян В.Р. О проблеме
моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.
Из
произвольности следует утверждение теоремы 2.
Глава 1 Неравенство Маркова
на индексационных классах
Из (1) и (2) следует,
что для .
Так как ФР имеет индекс (n+1)-
в Â и , то
Найти
Из приведенных выше
рассуждений следует, что