Теория управления

1. Общая постановка задачи управляемости.
Для задачи ОУ характерно наличие динамического объекта. Динамический объект- объект, состояние которого меняется со временем. Состояние любого динамического объекта в момент времени [pic]характеризуется параметрами
[pic]. Такие параметры наз. Фазовые координаты, а сам вектор- фазовый вектор.
Предполагается, что движением объекта можно управлять. Набор параметров
[pic]- параметры управления, u(t)- вектор управления. Положение объекта зависит только от того, какое управление было до момента времени [pic], и не зависит от того, какое управление будет в будущем. В зависимости от описания дин. Объекта рассматриваются различные задачи.
Состояние динамического объекта описывается диф. уравнением
1) [pic]- эта система решается приближенным методом.
2) x(t) должны принадлежать [pic], [pic]. Класс допустимых управлений x(t),
[pic]не можат быть произвольным. [pic], как правило мн-во замкнуто и ограничено, а это не позволяет применять класс вариационого исчесления, кроме этого на [pic]могут быть наложены ограничения по времени.
3)Начальное и конечное состояние объекта.[pic]на интервале [pic], [pic],
[pic].Задача управления заключается в том, чтобы динамический объект, описываемый системой (1), удовлетворяющий условиям (2), перенести за промежуток времени [pic], из состояния [pic].Это может быть достигнуто разными способами.
4) Критерий управления. Это некоторый функционал вида [pic]. Находим такие
[pic], что [pic]

2. Основные вопросы в теории ОУ.
1) 1) Управляемость. Можно ли осуществить перевод динамического объекта из состояния [pic], за промежуток времени [pic].
2) Существует ли ОУ.
3) Необходимые условия оптимальности- принцип максимума Понтрягина.
4) Достаточные условия ОУ.
5) Единственность ОУ.

3. Постановка линейной задачи.
Линейная задача имеет вид: Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) [pic], x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и [pic], [pic], [pic]-замкнуто и ограничено. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляет переход из начального мн-ва [pic] в конечное множество [pic], если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям [pic]и [pic]. Цель управления - перевод динамический объекта из [pic]в [pic], а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества [pic]в [pic]за наименьшее время.[pic]

4. Пространство [pic], алгебраическая сумма[pic], произведение множества на число [pic].
Пространство [pic]-пространство состоящее из всевозможных не пустых компактных подмножеств пр-ва [pic].
Мн-во F компактное, если оно замкнуто и ограничено.
Мн-во F ограничено, если оно содержится в шарк некоторого радиуса.
Мн-во F замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.
Точка f предельная точка F, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка мн-ва F отличная от f.
Операции:1) алгебраической суммой[pic]наз. мн-во C такое, что любой элемент
[pic], [pic][pic].
2) произведением множества на число [pic] наз. мн-во C такое, что любой элемент [pic].

5.[pic], хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы.
[pic]-это минимальный радиус шара с центром в начале координат, где [pic].
Хаусдорффова норма- это расстояние между мн-ми A и B:
[pic] -расстояние между мн-ми A и B ([pic]) явл. наименьшее положительное число r.
Лемма: Пусть [pic]- выпуклы, тогда хаусдорффова норма [pic][pic]
6. Опорные функции.
Задано множество [pic]и вектор [pic] . Для этих двух элементов можно определить опорную функцию следующим образом [pic], где C опорная функция.
[pic], [pic]
[pic], [pic].
[pic], [pic][pic].
Пусть [pic]-некоторый фиксированный вектор, а [pic]один из векторов множества F, на котором опорная функция достигает максимум: [pic]. В этом случае [pic]наз. опорным вектором мн-ва F в точке [pic]. А совокупность всех векторов [pic]наз. опорным множеством к множеству F в направлении
[pic].Гиперплоскость [pic]- наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении [pic]. Гиперплоскость [pic] разбивает [pic]на два подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый относительно [pic], т.к. для всех точек [pic]выполняется неравенство
[pic]. Если считать, что [pic]- единичный вектор, [pic],
[pic]. опорных [pic]

7. Свойства опорной функции.
1. Опорные функция- положительно однородная по переменной [pic].
[pic]. Это значит что [pic][pic],[pic].
[pic]
2. Для [pic]опорные функции удовлетворяют неравенству: [pic]3. Два множества [pic] и [pic], [pic], [pic]Пусть матрица A размера n на n, [pic]и рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.
[pic].
4. [pic],где [pic]-матр. сопряженная с матр. [pic].
5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. [pic] ,
[pic]. Пусть [pic] и пользуемся : 1) условием однородности: [pic]6. Пусть задано множество [pic]и его опорная фун. [pic] . Выпуклая оболочка мн-ва F
[pic], [pic].
7. Если [pic]и A=B, то опорная фун.[pic]. И наоборот, если [pic],то[pic].
Следствие: Выпуклые мн-ва равны тогда и только тогда, когда равны их опорные функции.
8. Если [pic]и [pic]. В этом случае [pic]. Если [pic],то[pic]. Следствие:
Выпуклые мн-ва [pic] тогда и только тогда, когда равны их опорные функции
[pic].
9. Пусть задано множество [pic], тогда [pic]. В обратную сторону: [pic], когда [pic]. Следствие: Точка [pic] выпуклому мн-ву [pic] , тогда и только тогда , когда [pic].
10. Пусть задано множество [pic], а [pic], тогда [pic]. [pic][pic].
Следствие: Пусть задано множество [pic], [pic], тогда и только тогда, когда [pic].
[pic] и если [pic], то [pic]. И наоборот: Если [pic],то [pic].Следствие:
Два вып. Мн-ва пересекаются тогда и только тогда, когда [pic].

8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для опорных функций.
Пусть [pic]-два метрических пространства с метриками [pic]и пусть f отображает [pic]. f непрерывна в точке [pic], если [pic] такое что [pic]
Условие Липшица: Функция f, отображающая [pic], удовлетворяет условию
Липшица с const L , если для любых двух точек [pic], выполняется неравенство [pic] ,для опорных функций [pic], [pic], [pic]:[pic][pic]
Лемма: Опорная функция [pic] удовлетворяет условию Липшеца по f с const
L=[pic].
Лемма: Пусть [pic]- выпуклы, тогда хаусдорффова норма [pic][pic]
9. Многозначные отображения.
Многозначным отображением будем называть функцию [pic]у которой аргументом является число, а значением некоторые множества

10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.
Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке [pic], если для [pic].
Лемма: Пусть [pic]непрерывное многозначное отображение , когда
[pic]непрерывна по t при всяком фиксированном [pic], более того
[pic]равномерно непрерывно по t [pic].
Если [pic] равномерно непрерывно по t [pic], то многозначное отображение conv F(t) непрерывно.

11. Измеримые многозначные отображения. Лемма о равномерной непрерывности многозначного отображения.
Функция f(t) отображающая [pic]в некоторое метрическое пр-во [pic]с метрикой [pic]называется измеримой, если праобраз любого шара [pic]есть мн- во измеримое.

12. Интеграл от многозначного отображения. Теорема о непрерывности от многозначного отображения.
F-многозначное отображение, такое что F: I[pic][pic], где [pic] , [pic]- замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество
G (G[pic]) вида: [pic]. Это мн-во значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения
F(t) .
Теорема 3: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: [pic], где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда [pic]непрерывна на отр. I .
Опорная функция [pic][pic], где F[pic], [pic].