Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :

[pic]

(x,y) ?D ; u|Г=xy2=f(x,y) ;

область D ограничена линиями: x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ;

(x0, y0 ) = (3, 5) .

Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y : h=0.2, потом с шагом h=0.1 . Точность решения СЛАУ ?=0.01 .

2. ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток , разработанный для численного решения задачи
Дирихле для уравнений эллептического типа.

Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.

1. На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область Dh путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу: yi=y0 ± ih, xj=x0 ± ih , i,j=0,1,2…. РР

Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D. Получается множество точек (xi,yj).

2. За область Dh принимают те точки множества (xi,yj) , которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками.

3.Во всех точках области Dh вычисляются значения функции f(xi,yj)
.

4. За область Dh* принимаются все внутренние точки области Dh, т.е. удовлетворяющие требованию:

(xi,yj) ? Dh* , если (xi+1,yj) ? Dh , (xi-1,yj) ? Dh ,
(xi,yj+1) ? Dh , (xi,yj-1) ? Dh .

5. Во всех точках области Dh* вычисляется функция F(N)*[i,j] ( индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление):

F(N)*[i,j]=(f(xi+1,yj) + f(xi-1,yj) + f(xi,yj+1)
+ f(xi,yj-1))/4

6. Теперь если max | F(N+1)*[i,j] - F(N)*[i,j]|< ? ,взятый по всем точкам области Dh* ,то задача решена; если нет , то выполнять шаг 5 ( пересчитывать функцию
F(N)*[i,j] через значения F(N-1)*[i,j]) до тех пор, пока не выполнится указанное условие.

3.ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

#include
#include
#include
#include
#include

int i,j,k; // Variables float h,x,y,tmp,E1; struct point { float xx; float yy; int BelongsToDh_; int BelongsToDh; float F; float F_;

} p0,arrayP[13][33]; float arrayX[13]; float arrayY[33]; float diff[500];

void CreateNet(void); // Procedure Prototypes int IsLineFit(float Param); void CrMtrD(void); void RegArrayX(); void RegArrayY(); void CreateDh_(); int IsFit(point Par); void FillF(); void CreateDh(); int IsInner(int i,int j); void FillF_(); void CountDif(); void MakeFile();

void main(void) //MAIN

{ clrscr(); p0.xx = 3; p0.yy = 5; h = 0.2; p0.BelongsToDh_=1; p0.BelongsToDh=1;

CreateNet();

RegArrayX();

RegArrayY();

CrMtrD();

CreateDh_();

FillF();

CreateDh();

FillF_();

CountDif(); while (E1>=0.005) { for(i=0;i