Преобразования фигур

Малоязовская башкирская гимназия

Геометрия

Реферат

на тему:

“Преобразования фигур”

Выполнил: ученик 10 Б класса

Халиуллин А.Н.

Проверила: Исрафилова Р.Х.

Малояз 2003 год

План:

I. Преобразование.
II. Виды преобразований

1. Гомотетия

2. Подобие

3. Движение
III. Виды движения

1. Симметрия относительно точки

2. Симметрия относительно прямой

3. Симметрия относительно плоскости

4. Поворот

5. Параллельный перенос в пространстве

I. Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.

II. Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение.

Подобие

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X^, Y^ фигуры F^, в которые он переходят, X^Y^ = k * XY.

Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми

3. Подобие переводит плоскости в плоскости.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Гомотетия

Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X^ луча OX, такую, что OX^ = k*OX.

Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость
(или в себя при k=1).

Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и ( - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости
(. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A^ на луче OA, а точку B в точку B^ на луче OB, причем OA^/OA = k, OB^/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A^OB^. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA^B^, а значит, параллельность прямых AB и A^B^. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости (. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A^C^. При рассматриваемой гомотетии плоскость (перейдет в плоскость (^, проходящую через прямые A^B^, A^C^. Так как A^B^||AB и A^C^||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости ( и (^ параллельны, что и требовалось доказать.

Движение

Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y

Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A1,B1,C1. То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A1 и C1.

Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C.
Докажем, что точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой.

Если точка A1,B1,C1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A1C1