Методи розв"язування раціональних нерівностей вищих степенів

Міністерство освіти і науки України

Черкаський національний університет

імені Б. Хмельницького

Кафедра геометрії та методики навчання математики

Курсова робота

Методи розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів

ІV курс, денна форма навчання, математичний факультет

Глушко Юлія Сергіївна

Науковий керівник:

викладач кафедри геометрії та

методики навчання математики

Воловик Оксана Петрівна

Черкаси 2010

Зміст

Вступ

§ 1. Теоретичні основи дослідження

1.1 Загальні відомості про раціональні нерівності

1.2 Теореми про рівносильність нерівностей

§ 2. Раціональні нерівності вищих степенів та методи їх розв^язування

2.1 Розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів методом інтервалів

2.2 Розв^язування раціональних нерівностей узагальненим методом інтервалів

2.3 Розв^язування дробово-раціональних нерівностей

2.4 Розв^язування раціональних нерівностей методом заміни змінної

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

 

Актуальність теми зумовлена тим, що розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів викликає у багатьох учнів певні труднощі. Розв^язування більшості нерівностей вищих степенів вимагає знання різноманітних теоретичних відомостей, застосування різних теорем та формул. Отримати навички розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів можна лише тоді, коли розв^язати їх достатньо велику кількість, ознайомившись з різними методами та прийомами їх розв^язання.

Все це обумовило обрання теми: «Методи розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів»

Мета роботи полягає в тому, щоб розглянути різні методи раціональних нерівностей вищих степенів

Однією з основних функцій розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів є формування уявлень про ідею і використання раціональних методів і прийомів.

Майстерність розв^язувати раціональних нерівностей вищих степенів ґрунтується на володінні високим рівнем знань теоретичної частини курсу та певним арсеналом методів і прийомів розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів

Тому доцільно розглянути та ознайомитись з різноманітними методами та прийоми розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів. Це дозволить учням розв^язувати, здавалося б, складні нерівностей просто, зрозуміло і красиво, а сформовані уміння і навички знадобляться учням при розв^язуванні ірраціональних, логарифмічних, показникових та тригонометричних. нерівностей

Для досягнення мети було поставлено наступні завдання:

§ проаналізувати методичну літературу з означеної теми;

§ ознайомитись з теоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, що стосуються даної теми;

§ розглянути різноманітні методи розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів;

§ навести низку прикладів розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів різними методами.

§ 1. Теоретичні основи дослідження

 

1.1 Загальні відомості про раціональні нерівності

Дві функції, що поєднані між собою знаю  утворюють нерівність:

;

.

Розв^язком цих нерівностей називається значення , що задовольняє їх. Розв^язати нерівність – значить знайти множину всіх її розв^язків або встановити, що нерівність не має розв^язків.

Областю визначення  (областю допустимих значень) нерівності називають множину всіх значень невідомого, на якій існують функції .При визначенні  часто вводяться також додаткові умови, які пов^язані з характером нерівності. [2: 137]

Під множиною розв^язків системи нерівностей розуміють перетин множин розв^язків всіх нерівностей, що входять в цю систему.

Говорять, що нерівність еквівалентна системі нерівностей, якщо множина її розв^язків співпадає з множиною розв^язків цієї системи. [1: 136]

1.2 Теореми про рівносильність нерівностей

Дві нерівності з одною змінною  називаються рівносильними, якщо їх розв^язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розвязків). Якщо кожен частковий розвязок нерівності  являється в той же час частковим розвязком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність  називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.[6:321]

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію  то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності  помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при  дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при  рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).

Таким чином, можемо записати:

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

Зауваження.На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції  береться її окремий випадок – відмінна від нуля константа. [2:143]

§ 2. Приклади розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів різними методими

 

2.1 Розвязування раціональних нерівностей вищих степенів методом інтервалів

Будемо розглядати розв^язання раціональних нерівностей методом інтервалів. Існують різні схеми реалізації цього методу. Розглянемо одну з цих схем, допускаючи, що розв^язується нерівність . У випадку нерівності  ця схема аналогічна.

1.Перенести всі члени нерівності вліво:

.

2.Ліву частину отриманої нерівності привести до спільного знаменника:

.

3.Багаточлени  і  розкласти на множники. Якщо при цьому з^являються однакові множники, то треба замінити їх відповідним степенем. Наприклад,

.

При скороченні треба мати на увазі, що:

4. Виключити з розкладення нелінійні множники. Це виключення виконується таким чином.

Якщо в розкладенні є множник, , де , то його виключення залежить від знака старшого коефіцієнта і виконується за правилом:

Якщо в розкладенні є множник , то його виключення здійснюється за правилами

 

Нелінійний множник  виключається за правилом:

.

5. На числовій осі відмітимо точки, в яких обертаються в нуль всі множники, що стоять в чисельнику і знаменнику лівої частини нерівності, отриманої в результаті виконання пунктів «1» - «4». При цьому, якщо нерівність нестрога, точки, які відповідають множникам чисельника будемо визначати зафарбованими кружками, а точки, що відповідають множникам знаменника світлими. Якщо нерівність строга, всі точки відмічаються світлими кружками.

6. Поставити знаки в кожному проміжку, на якій числова вісь розбивається відміченими точками.

Спочатку поставити знак у самому правому проміжку на числовій осі за правилом: знак «+» ставиться, якщо число множників виду  парне, і знак «-», якщо це число непарне. Знаки в інших проміжках ставляться з урахуванням того, що вони чергуються в сусідніх проміжках.

7. Вибираються проміжки, в яких стоїть знак «+», якщо нерівність, отримана в пункті 4 має вигляд: , або «-», якщо ця нерівність має вигляд . Ці проміжки містять у собі крайні точки, відмічені на числовій осі зафарбованими кружками, і не містять точок, відмічених світлими кружками,. Об^єднання цих проміжків і є множиною розв^язків даної нерівності.[4:124]

Приклад 1. Розв^язати методом інтервалів нерівність

. (1)

Розв^язування:З нерівності  знаходимо ОДЗ:

 

Далі замість нерівності (1) розв^язуємо рівняння

 або  звідки

Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).

Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.

1. Підставляємо значення  з інтервалу  у нерівність (1). Дістаємо нерівність , яка не виконується. Тому нерівність (1) не виконується в усіх точках інтервалу .

2. Підставляючи в нерівність (1) значення  з інтервалу , дістаємо правильну нерівність . Отже, нерівність (1) виконується на інтервалі .

3. Підставляючи в (3) значення  з інтервалу  дістаємо неправильну нерівність . Це означає, що нерівність (1) не виконується ні в одній точці інтервалу .

Остаточно маємо розв^язок нерівності (1)

Відповідь.[1:161]

Приклад 2. Розв^язати нерівність

Розв^язування: Для знаходження коренів рівняння  необхідно розкласти його на множники. Отже

Отже числа,, є коренями даного рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції

 на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Провівши «криву знаків», визначаємо знак  в кожному з інтервалів.

 +  +

1 2 3 x

Відповідь:

 

2.2 Розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів узагальненним методом інтервалів

Нехай потрібно розв"язати нерівність

,

де  цілі додатні числа;

— дійсні числа, серед яких немає рівних і такі, що . Нерівності подібного типу розв"язують із застосуванням узагальненого метода інтервалів. В основі цього метода лежить така властивість двочлена  точка  ділить числову вісь на дві частини, причому якщо  (- парне), то вираз  праворуч і ліворуч від точки  зберігає додатний знак; якщо  (- непарне число), то вираз  праворуч від точки  додатний, а ліворуч від точки  від"ємний.

Для розв"язання нерівності

узагальненим методом інтервалів на числову вісь наносимо числа ; в проміжку праворуч від найбільшого з них ставимо знак «плюс», а потім, рухаючись справа наліво, при переході через чергове число  змінюємо знак, якщо  — непарне число, і зберігаємо знак, якщо.  — парне число.

Зауваження 1. Якщо зустрічаються вирази , то праворуч від найбільшого з  не обов"язково буде знак « + ». У цьому випадку найкраще визначити знак лівої частини нерівності в якомусь з інтервалів, а потім поставити знаки в кожному з інтервалів з урахуванням викладених вище міркувань.

Зауваження 2. Наведені вище міркування справедливі і для нерівностей виду

, , , де

.

Приклад 1. Розв^язати нерівність

Перепишемо нерівність у рівносильному вигляді

Числа , , ,  є коренями рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції

 

на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» з урахуванням того, що ліворуч і праворуч точки  буде той самий знак «+», тому що у виразі  показник степеня (число 4) є числом парним.

 

 +  + +

-7 -  6 x

Відповідь:.

 

Приклад 2. Розв^язати нерівність

Числа ,, є коренями рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції  на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Провівши «криву знаків» з урахуванням того, що ліворуч і праворуч точки  і  буде той самий знак «-», тому що у виразах і (х + 3)⁶  показник степеня (число 4 і 6 відповідно) є парні числа, визначаємо знак f(x) в кожному з інтервалів.

 

  +

-3 1 5 x

Відповідь: .

Приклад 3. Розв^язати нерівність

Числа, ,  є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь. Оскільки дискримінант квадратного тричлена х² , то для всіх  і, значить, парабола  не перетинає вісь Ох. За допомогою «кривої знаків» дістаємо розв^язання.

 +  +

-1 1 2 x

Відповідь: .

 

Приклад 4. Розв^язати нерівність

Числа , ,  є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції  на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» і дістаємо розв^язання.

 +  +

-3 -1 0 x

Відповідь:..

Приклад 5. Розв^язати нерівність

.

Перепишемо нерівність

.

Числа, ,  є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції

 

на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» і дістаємо розв^язання.

 +  + +

-  6 x

 

Відповідь:.

2.3 Розв^язування дробово-раціональних нерівностей

 

Приклад 1. Розв^язати нерівність

.

Розв^язання: розкладемо чисельник і знаменник дробу, що стоїть в лівій частині нерівності, на множники:

.

Отриманий дріб містить два нелінійні множники:  і . Перший з них додатний і його можна опустити, другий множник виключимо у відповідності з пунктом 4:

Далі, на числовій осі відмітимо точки ,  та інтервали, що утворюються при цьому, знаками:

 + +

-2 2 x

Виберемо інтервал  відмічений знаком «-» (так як ), і нанесемо на числову вісь точку . Ця точка попадає у вибраний інтервал. «Виколюючи» точку , отримуємо інтервали  і , об^єднання яких утворює множину розв^язків даної нерівності:

Відповідь: .

Приклад 2. Розв^язати нерівність

.

Розв^язання: розкладемо багаточлен, що стоїть в чисельнику лівої частини нерівності, на множники. Розглянемо рівняння . Серед дільників 8 підберемо корінь рівняння . Розділимо ліву частину рівняння на двочлен :

 

Тепер розглянемо рівняння . Серед дільників 8 підберемо рівняння  і розділимо ліву частину на двочлен :

 

Так як квадратний тричлен  не має дійсних коренів, отримаємо розкладення

.

Таким чином, дана нерівність перетворюється до вигляду:

.

Дріб в лівій частині цієї нерівності містить два нелінійних множники: квадратний тричлен , що більший нуля, і . Виключимо ці множники:

На числовій осі відмітимо точки ,  і інтервали, що утворюються знаками:

Виберемо інтервал  зі знаком «-» і потім відмітимо на осі точку . Ця точка належить вибраному інтервалу, і тому, виключаючи цю точку, отримуємо, що  - множина розв^язків даної нерівності.

Відповідь: .

Приклад 3. Розв^язати нерівність

.

Розв^язання: у відповідності з описаною схемою методу інтервалів

Будемо відмічати на числовій осі точки , ,  зафарбованими кружками (нерівність нестрога!), а точку  - світлим кружком:

Розв^язок даної даної нерівності складаються з об^єднанням проміжків .

Відповідь: .

 

Приклад 4. Розв^язати нерівність

.

Розв^язування: Нанасимо на числову пряму точки , , , , . Точки , ,  відзначаємо темними кружками, а точки ,  світлими.

Провівши «кривину знаків» з урахуванням того, що в околі точок  і  ліва частина нерівності зберігає знак (тому що у виразах ),  показники степенів є парними числами), дістанемо розв^язання Ця множина на рисунку заштрихована.

Відповідь:

Приклад 5. Розв^язати нерівність

.

Наносимо точки  числову вісь. За допомогою «кривої знаків» дістанемо розв^язки, заштриховані на рисунку.

Зазначимо, що точка  входить у множину розв^язків, тому що при  дістанемо .

Відповідь: .

 

2.4 Розв^язування раціональних нерівностей методом заміни змінної

 

Приклад 1. Розв^язати нерівність

Зробивши заміну змінної , дістаємо

.

Коренями рівняння

 є , .

Звідси

.

Оскільки , то дістаємо

 

Розв^яжемо нерівність

 

0 4 x

Розв^яжемо нерівність

 

-1 5 x

З малюнків бачимо, що розв^язком початкової нерівності є об^єднання множин  і .

Відповідь:  і

 

Приклад 2. Розв^язати нерівність

Зробивши заміну змінної , дістаємо

.

Коренями рівняння  є , .

Звідси.

Оскільки , то дістаємо

   

Зобразимо отриману множину за допомогою координатної прямої.

  

1 2 x

Відповідь: .

Висновки

Сучасна педагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань і для їхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати зв^язки, як між різними розділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому. Для чого потрібно вміти розв^язувати раціональні нерівності? Так, щоб за їх допомогою розв^язувати задачі. Уміння розв^язувати раціональні нерівності вищих степенів дозволить учням розв^язувати, здавалося б, складні нерівності просто, також учні зможуть використовувати уміння та навички при розв^язуванні ірраціональних, логарифмічних, показникових та тригонометричних нерівності.

Тому доцільно розглянути та ознайомитись з різноманітними методами та прийоми розв^язування раціональних нерівності вищих степенів. Для досягнення мети було поставлено наступні завдання:

§ проаналізувати методичну літературу з означеної теми;

§ ознайомитись з теоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, що стосуються даної теми;

§ розглянути різноманітні методи розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів;

§ навести низку прикладів розв^язування раціональних нерівностей вищих степенів різними методами.

Список використаних джерел

 

1.  Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.: Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов.- 2-е изд., перераб. и доп. / В.Н.Литвиненко, А.Г. Мордкович, - М.: Просвещение, 1991.- 352 с.

2.  Титаренко О.М.: Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник./ О.М. Титаренко – Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005.-368 с.

3.  Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк./ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев - М.: Просвещение, 1991.-384 с.

4.  Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы.-2-е изд., перераб. и доп./ А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат.лит., 1989. – 576 с.

5.  Шахмейстер А.Х.: Уравнения.- 3-е издание, исправленное и дополненное / А.Х. Шахмейстер – М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2008.-264 с.

6.  Ципкін О.Г.:Довідник з математики для середніх навчальних закладів / А.Г.Ципкін.- К.: Вища шк. Головне вид-во, 1988.-416 с.

7.  Маслова Т.Н., Суходений А.М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО Изд. дом “ОНИКС 21 век”, 2003. - 672 с.

8.  Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н.М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 430 с.

9.  Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10-11 кл. общ. учредж. / Под ред. А.Н. Колмогорова. - 12-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 384 с.