Лекции по физике

Текст:
Лекция 10
8.5. Линии равной толщины
Как ясно уже из заголовка, речь пойдет о пластинах (тонких пленках), толщина которых непостоянна. И, по существу, здесь не решается какая-то новая задача: механизм интерференции тот же, что и в случае плоскопараллельной пластине. Можно, например, зафиксировать величину угла падения ?, и мы получим готовую формулу, подставив в соответствующее выражение зависимость d от координат. Обычно принимают значение ?=0 - в общем виде выражение громоздко и не представляется полезным.

n=1 ?
1 2
0 X
d0 n>1
?
Для реальной пластины зависимость d от координат может быть какой угодно. Традиционно рассматриваются лишь некоторые частные случаи такой зависимости.
Например, пластина может иметь форму клина. У показанной на рисунке пластины толщина зависит от координаты x:
;.
Для соседних максимумов, очевидно, ?k=1, и мы имеем для ширины интерференционной полосы:
;.
Мы, вроде, получили новую формулу, но, оказывается, она нам знакома. Действительно, после отражения от поверхностей и преломления лучи 1 и 2 расходятся под углом ?=2?n, мы же при анализе интерференции волн от двух точечных источников получили для ширины интерференционной полосы выражение. Оно оказывается справедливым и в этом случае, но тут появляются некоторые проблемы.
экран
изображ.
поверхности 1 2
локализации
линза
1 2 поверхность
локализации
пластина
При интерференции волн от двух точечных источников волны реально, “на самом деле” взаимодействуют, складываются на поверхности экрана. Теперь же эти волны (1 и 2) после отражения от двух поверхностей расходятся под углом ?. Возникает вопрос, где же они интерферируют друг с другом или, как принято выражаться, где локализованы интерференционныу полосы.
Ответ на этот вопрос поясняется рисунком. Для наблюдения интерференции отраженных от поверхностей пластины (клина) волн используется линза и экран, на котором создается изображение поверхности локализации интерференционных полос. Эта последняя образована точками пересечения продолжений луча 1 (он “начинается” от верхней поверхности пластины) и луча 2 после его преломления.
Другая традиционно рассматриваемая задача - кольца Ньютона. Это также линии равной толщины, но роль пластины здесь играет воздушный промежуток между плоской поверхность стеклянной, например, пластины и выпуклой поверхностью плосковыпуклой линзы.

R
d(r)
r
Пусть угол между вертикалью и прямой, проведенной из центра кривизны к некоторой точке выпуклой поверхности линзы с координатой r, равен ?. Тогда
.
Показатель преломления в промежутке между стеклянными поверхностями можно считать равным единице. Поэтому условие максимума будет
;.
При таких значениях радиуса r будут наблюдаться максимумы. Очевидно, минимумы будут при
;.
В этих выражениях k - целое. Эти выражения для радиусов колец Ньютона можно объединить в одно:
.
Теперь нечетным значениям k соответствуют светлые кольца, четным - темные.
8.6. Интерферометры
8.6.1. Интерферометр Линника
Собственно, интерферометр Линника представляет собой слегка видоизмененный интерферометр Майкельсона и может быть назван и так и этак. Мы здесь обсудим не столько его устройство, сколько его применение для определения качества обработки поверхностей.
З^
исслед.
? 2? поверхн.
1 2^
1
p1 P2 З
2
линза
1,2
З”
Основу интерферометра составляют две стеклянные пластины p1 и p2 и два зеркала, одним из которых служит исследуемая поверхность.
Нижняя поверхность первой пластины представляет собой полупрозрачное зеркало, на котором происходит разделение лучей: часть света (луч 1) отражается вверх, отражается от исследуемой поверхности и после отражения от нижнего зеркала З” направляется в окуляр (на рисунке не показан), через который и наблюдается интерференционная картина.
После прохождения пластины p1 луч 2 направляется к зеркалу З, отражается от него, затем от полупрозрачного зеркала и вместе с лучем 1 направляется к наблюдателю.
Луч 1 после отражения от полупрозрачного зеркала и на обратном пути дважды проходит через пластину p1, “набирая” тем самым некоторую “лишнюю” разность хода. Для ее компенсации служит пластина p2, изготовленная из того же материала, что и первая. Разумеется, эту “лишнюю разность хода” можно было бы легко скомпенсировать простым перемещением зеркала, если бы не было дисперсии, зависимости коэффициента преломления от длины волны n(?). Применение компенсирующей пластины p1 позволяет осуществить такую компенсацию сразу для всех длин волн.
Почему образуется интерференционная картина и как она выглядит помогает понять укрупненный фрагмент рисунка слева вверху. Реальный луч 2 и его отражение от зеркала З можно заменить лучем 2^ и его “отражением” от изображения зеркала З в полупрозрачном зеркале - З^. Это изображение и исследуемая поверхность образуют клин, пластину изменяющейся толщины. Соответственно, через окуляр наблюдаются интерференционные линии равной толщины - прямые, направленные перпендикулярно плоскости рисунка. И эти линии видны искривленными, если исследуемая поверхность не вполне плоская. При “идеально” плоской поверхности это прямые линии.
Ту же мысль можно сформулировать и иначе. При отражении от идеально плоских поверхностей волны остаются плоскими, и фронты волн 1 и 2 составляют между собой угол 2?, если угол между исследуемой поверхностью и изображением зеркала З^ равен ?. Если исследуемая поверхность обработана некачественно, волна 1 уже не будет плоской, интерференционная картина исказится.
Чрезвычайно простой в эксплуатации, такой интерферометр позволяет обнаружить весьма небольшие неровности на исследуемой поверхности - порядка долей длины волны.
8.6.2. Интерферометр Рэлея
Показатель преломления воздуха, как и других газов, при условиях, близких к “нормальным”, мало отличается от единицы. Должно быть понятным, что для измерения такой величины показателя преломления необходим достаточно точный метод. Такого рода измерения могут быть произведены с помощью интерферометра Рэлея.
x
1

S 0
2 l
экран
По существу схема получения интерференционной картины в этом случае насильно отличается от классического опыта Юнга. Источником света служит освещаемая достаточно удаленным источником щель S, от которой распространяется цилиндрическая волна. С помощью линзы волна преобразуется в плоскую волну: лучи 1 и 2 становятся параллельными. Они проходят через кюветы, длины которых l могут быть достаточно велики.
Если показатели преломления газов в кюветах одинаковы, интерференционная полоса (максимум) с нулевой разностью хода помещается в центре экрана при x=0. Заметим - выше ее (на рисунке) расположатся линии (максимумы), для которых оптическая длина пути нижнего луча больше.
Если верхняя кювета заполняется газом с несколько большим показателем преломления, оптическая длина пути луча 1 на протяжении кюветы станет больше и линия с нулевой разностью хода (“центральная”) сместится вверх.
x
1
S d 0
2 f
экран
Изображенная на предыдущем рисунке схема интерферометра Рэлея заимствована из задачника Иродова. При такой схеме ширина интерференционной полосы определяется выражением
.
Реальный интерферометр Рэлея устроен несколько иначе: за диафрагмой устанавливается линза, в фокальной плоскости которой и наблюдается интерференционные полосы (с помощью окуляра с достаточным увеличением).
Но тогда угловое расстояние между источниками становится нулевым, интерферировать должны параллельные лучи. Причина образования интерферационной картины становится не очень понятной, непонятно, чем определяется ширина полосы.
Но все это не так загадочно, как может показаться. Два точечных источника представляют собой частный случай периодического расположения источников, рассмотренный нами раньше. Заметив, что мы ограничимся лишь малыми значениями углов ?, повторим для пары источников проведенные ранее рассуждения.
При ?=0, естественно, будет наблюдаться максимум. Следующий максимум будет при значении ?, которое определяется условием

?x
d ? ?
?L
? f
экран
;
и ширина полосы на экране
.
Эти уточнения и расчеты помогут нам понять принцип работы другого интерферометра, о котором речь пойдет ниже. Но обратите внимание на то, что ширина максимума на экране определяется их угловой шириной, которую надо умножить на фокусное расстояние линзы.
8.6.3. Звездный интерфероментр Майкельсона
Если угловое расстояние между двумя звездами очень мало, в телескоп они видны как одна звезда. В таком случае говорят о двойных звездах и надо провести специальное наблюдение, чтобы отличить их от звезд одиночных. Для этого используется звездный интерферометр Майкельсона, который позволяет к тому же определить угловое расстояние между звездами.
Устройство звездного интерферометра Майкельсона показано не рисунке. Лучи света, пришедшего от удаленной звезды, отражается от зеркал, разнесенных на достаточно большое расстояние D, затем от двух других зеркал и собираются линзой на экране, помещенном в фокальной плоскости. Разнесенные на расстояние D зеркала можно рассматривать как точечные источники, расстояние между которыми и равно D.
D
? ?
линза


?x 0 X
Воспользуемся полученным ранее выражением для углового распределения максимумов излучения света
;
Иначе говоря,
.
На экране будут наблюдаться максимумы на расстояниях друг от друга.
Если наблюдаются две близкие звезды, лучи света от которых приходят под малым углом ?, то на экране будут наблюдаться две интерференционные картины, сдвинутые по отношению друг к другу на расстояние. Измерение углового расстояния ? между звездами производится следующим образом.
При изменении величины D изменяется. Несложно догадаться, что при видимость интерференционной картины ухудшится или она вообще не будет наблюдаться. Это позволяет определить угловое расстояние между звездами:
?? E0 ?
0 ?
;.
На рисунке показано именно такое взаимоположение интерференционных картин, интенсивность излучения одной из звезд несколько больше. При изменении расстояния между зеркалами изменяется величина ??.
Таким способом можно определить весьма малые угловые расстояния ?.
8.6.4. Интерферометр Фабри-Перо
1 2 3

n=1
n>1
1^2^3^
Интерференция лучей отразившихся от поверхностей плоскопараллельной пластины называется двухлучевой. И для такого названия имеется основание.
Коэффициент отражения границы стекло - воздух ?=I1/I0 невелик, несколько процентов. Обозначив интенсивность падающего луча как I0, для интенсивностей других лучей мы получим такие значения:
I1 =I0 ?; I2 =I0(1-?)2?; I3 =I0(1-?)2?4;
I1^=I0(1-?)2; I2^=I0(1-?)2?2; I3^=I0(1-?)2?4.
Получаются эти выражения таким образом. Если коэффициент отражения ?, то коэффициент прохождения, как это следует из закона сохранения энергии, равен (1-?). При определении интенсивности каждого луча интенсивность I0 следует умножить на коэффициент отражения и на коэффициент прохождения в степени, равной числу отражений и пересечения границы раздела соответственно. При малом коэффициенте отражения получается поэтому для отраженных и прошедших через пластинку лучей:
I1 ?I2; I3
I3^> I2 ? I3;
I1^ ? I2^ ? I3^.
При таких соотношениях при обсчете углового распределения интенсивности проходящего света необходимо учитывать много (все) проходящие через интерферометр лучи. В этом случае интерференция называется многолучевой.
Поскольку при прохождении прозрачных пластин энергия сохраняется, минимуму в отраженном свете должен соответствовать максимум в свете проходящем. Наконец, поскольку в промежутке между пластинами показатель преломления (воздуха) можно считать равным единице, мы получаем такое условие для максимума в проходящем свете:
;.
При практическом использовании интерферометра Фабри-Перо угол ? мал, а расстояние между пластинами d велико (порядка нескольких сантиметров). Так что длина когерентности световой волны ?2??? должна быть достаточно большой.
Лекция 11
8.6.5 Интерферометр Фабри-Перо.
Угловое распределение амплитуды проходящей волны
d

? ?
1
2
3
4
На своем пути каждый последующий из пронумерованных лучей испытывает два дополнительных отражения от внутренних поверхностей пластин. Стало быть, их интенсивности различаются в ?2 раз. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды и поэтому
;.
Далее, разность оптических путей соседних лучей равняется и разность фаз их колебаний в удаленной точке наблюдения
.
Таким образом, для амплитуды суммарных колебаний мы имеем выражение:
.
Начальную фазу колебаний первого луча мы положили равной нулю.
Для сложения этих колебаний перейдем к комплексным переменным - добавим мнимую часть, памятуя, что физический смысл имеет лишь реальная часть суммы, которую мы получим:
.
Итак, нам надо найти сумму членов бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой. Таким образом,
.
Амплитуда суммарных колебаний равна модулю комплексного значения :
.
Воспользовавшись формулой Эйлера, произведем перемножение скобок под квадратным корнем в знаменателе:
.
?: E?
0,05
0,25
0,75
0 ?
Вспомним, что

.
Таким образом,
.
Как и ожидалось, с увеличением коэффициента отражения глубина минимумов увеличивается. Одновременно уменьшается ширина интерференционных полос. Предвидеть этот результат было не так просто.
9. Дифракция Фраунгофура
Дифракция рассматривает процессы отклонения направления распространения света от прямолинейного при встрече с некоторыми препятствиями или при отражении от них. В случае дифракции Фраунгофера рассматривается падение на препятствие плоской волны (бесконечно удаленный источник света) и подразумевается, что зона наблюдения удалена от препятствия на достаточно большое расстояние (находится на бесконечности). Коротко говоря, это “дифракция в параллельных лучах”.
Как Вы увидите, основные задачи дифракции Фраунгофера мы, собственно, уже решили. Просто мы говорили о волнах вообще, а словом дифракция обычно обозначают именно оптические явления, поведение в том или ином случае световой (электромагнитной) волны.
9.1. Дифракция на щели
Ранее мы получили такое выражение для углового распределения амплитуды от системы точечных источников, от “цепочки” источников длиной b:
.
Ввиду особой важности да и сложности понимания этого результата получим его еще раз - другим способом.
X
b

0 ?
В связи с рассмотрением явлений дифракции формулируется принцип Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу элементарный участок волнового фронта считается точечным источником вторичных волн, огибающая которого и является “новым” фронтом волны. В случае дифракции на щели в качестве таких источников выбираются узкие полоски (вдоль щели), которые являются источниками цилиндрических когерентных волн. Электромагнитные колебания в удаленной зоне наблюдения подсчитывается как сумма колебаний волн, пришедших от таких источников.
На этот раз мы проведем их сложение с помощью векторной диаграммы. Амплитуда вторичной волны пропорциональна ширине элементарной полоски:, а начальная фаза колебаний зависит от координаты выбранной полоски:. Таким образом, разность фаз колебаний от соседних элементарных полосок шириной ?x составит. На такой угол будут повернуты по отношению друг к другу соответствующие векторы на фазовой диаграмме.

E?
R
?? ?
??
?E0
При стремлении ширины полоски ?x к нулю образованная элементарными векторами ломаная превращается в дугу окружности радиуса R, угловой размер дуги
.
При изменении угла ? угловые размеры дуги изменяется. Но длина дуги, равная сумме модулей (длин) элементарных векторов, считается постоянной:
.
Это позволяет нам определить радиус дуги и амплитуду суммарных колебаний (см. рисунок) при произвольном ?:
;.
Как видите, мы получили то же выражение, что и раньше. Но векторная диаграмма позволяет нам нагляднее представить причины обращения амплитуды суммарных колебаний в нуль и достижение максимумов.
При ???? дуга превращается в окружность, амплитуда суммарных колебаний равна нулю. Максимумы достигаются при ??? и, (приблизительно) при ???2k????.
1
2
E? 3
E?? E0
E??0
Эти ситуации показаны на рисунке. При ?=0 все элементарные векторы лежат на прямой, амплитуда суммарных колебаний максимальна и равна E0. По мере увеличения угла наблюдения ? и, соответственно, угла ? амплитуда колебаний уменьшается и при ???? обращается в нуль. Затем дуга скручивается в спираль и максимум достигается приблизительно в тот момент, когда она представляет собой полторы окружности (2, ????). При этом амплитуда колебаний равна примерно диаметру окружности:. Затем спираль становится “двойной окружностью”, амплитуда колебаний снова обращается в нуль (3) и т.д.
9.2. Дифракционная решетка
b
d ?
Такая решетка состоит из большого числа щелей шириной b, расположенных на расстоянии d друг от друга. Разумеется, b
;.
E?
0 ?
E?
0 ?
Но этот результат мы получили для изотропных точечных источников, интенсивность излучения которых не зависит от направления. Теперь у нас источниками являются щели, у которых амплитуда волны существенно зависит от направления наблюдения. Поэтому в выражение для углового распределения амплитуды волны, рождаемой периодически расположенными источниками, надо вставить угловое распределение амплитуды волны самих источников, щелей:
.
Это довольно сложное выражение, но смысл его должен быть понятен. Он поясняется и рисунком. Вверху показано угловое распределение амплитуды волны, излучаемой изотропными источниками. Внизу - угловое распределение амплитуды после прохождени светом решетки. Там же показано угловое распределение амплитуды волны, излучаемой щелью. По рисунку можно оценить отношение ширины щели к периоду решетки b/d.
9.3. Дифракционная решетка как спектральный прибор
Очевидно, что дифракционная решетка может быть использована для разворачивания падающего на нее света в спектр, когда угловое положение максимума зависит от длины волны ?. При ??? наблюдается максимум для всех длин волн. Но (угловые) положения максимумов k-того порядка при k>1 различны для разных длин волн. Это следует из условия максимума. То, как “быстро” изменяется угол ?, под которым наблюдается максимум, при изменении длины волны определяет угловую дисперсию решетки (это - определение термина)
.
Как видно, дисперсия возрастает с ростом порядка максимума k и с уменьшением периода решетки d. Обратите внимание, что в знаменателе стоит, который уменьшается с увеличением угла.
Естественно, чем больше угловая дисперсия, тем успешнее могут быть разрешены близкие по длине линии спектра, наблюдаться как отдельные линии. Попробуем разобраться с вопросом разрешения линий детальнее.

?
??
????
??

Пусть в спектре имеется пара линий с близкими длинами волн ?1 и ?2, разность длин волн ????????. Любая линия обладает некоторой “естественной” шириной, которая предполагается меньше разности длин вол самих линий: ??1????