Как писать математические тексты

Как писать математические тексты

П. Р. Халмош

0. Предисловие . Это — субъективно написанный очерк с обманчивым названием; вернее было бы назвать его как я пишу математические тексты. Он возник в связи с одной комиссией Американского математического общества, в которой мне пришлось недолгое время работать, но скоро превратился в увлекательное частное предприятие. Пытаясь поставить его под контроль, я обратился с просьбой к нескольким друзьям прочитать эту работу и высказать свою критику. Критические замечания были великолепны; резкие, честные и конструктивные, они противоречили друг другу. «Мало конкретных примеров», — говорил один. «Не соглашайтесь увеличивать число примеров», — говорил другой. «Уж очень длинно», — говорил один. «Может, написать побольше», — говорил другой. «Существуют, — говорил один, — традиционные (и эффективные) методы сведения к минимуму утомительности длинных доказательств, например, подразделение их на серию лемм». «Что выводит меня из себя, — говорил другой, — так это привычка, особенно у новичков, представлять доказательство в виде длинного ряда тщательно сформулированных и смертельно скучных лемм».

Лишь в одном соглашалось большинство моих советчиков: писать такой очерк — заведомо неблагодарная работа. Советчик 1: «Сделав свою вторую работу, любой математик убежден, что уже знает, как писать статьи, и с раздражением реагирует на советы». Советчик 2: «По-моему, все мы в глубине души уверены, что могли бы отлично писать, если бы только постарались. Даже те, кто придерживаются очень скромного мнения о своих математических способностях, выходят из себя, если усомниться в их литературном даровании». Советчик 3 воспользовался самым суровым языком; он предупредил меня о том, что так как я наверняка не смогу проявить значительную интеллектуальную глубину в обсуждении вопроса о технике написания текстов, мне не следует удивляться «насмешкам, которые Вы сможете снискать у некоторых из наших высокомерных коллег».

Мои советчики — маститые, хорошо известные математики. Если бы я назвал здесь их имена, это ничего не прибавило бы к их научной репутации; с другой стороны, я мог неверно их понять и не так применить их советы, что могло бы вызвать досаду и смущение этих людей. Вот почему я решился на непринятый в науке прием безимённых цитат и выражения благодарностей без адреса. От этого моя благодарность не стала меньше, как и не уменьшилось желание признать, что без их помощи этот очерк был бы хуже.

«Hier stehe ich, ich kann nicht anders» 2 .

1. Верный способ хорошо писать, которого не существует . Я думаю что мог бы кое-кому рассказать о том, как писать, но кто захотел бы это слушать? Способность к эффективной передаче информации, власть быть понятным — вещи, по-моему, врожденные, или, во всяком случае, столь рано приобретаемые, что чтение моих размышлений на означенный предмет, вероятно, ни на кого уже не сможет повлиять. Нельзя научиться понимать силлогизм — вы либо рождаетесь с такой способностью либо без нее. Точно так же нельзя научить умению эффективно объяснять: один обладает им, другой — нет. Верного способа хорошо писать не существует.

Зачем же продолжать? Ну, я немного надеюсь на то, что сказанное мной не совсем верно, и уж во всяком случае хочу попытать счастья и добиться того, чего, быть может, и нельзя добиться. Причина более прозаическая состоит в том, что в других областях, требующих природного таланта, даже одаренные люди, родившиеся с ним, обычно не рождаются со знанием всех тонкостей профессии. Несколько таких очерков, как этот, могли бы способствовать «напоминанию» (в смысле Платона) 3 тем, кто хочет и кому суждено излагать математику будущего, той техники, которую нашли полезной авторы прошлого.

Основная проблема, возникающая при написании математических текстов,- та же, что и при написании текстов по биологии, при сочинении романа или. инструкции по сборке клавикордов: это — проблема сообщения идеи. Чтобы сообщить ее, и сообщить ясно, вы должны иметь нечто, что хотели бы сказать, и иметь кого-нибудь, кому это сказать; вы должны организовать то, что собираетесь сказать, вы должны привести это в тот порядок, в котором хотите говорить, вы должны это написать, переписать и еще несколько раз переписать, и вы должны крепко подумать и много поработать над такими техническими деталями, как стиль, обозначения, пунктуация. Вот и все.

2. Говорите нечто определенное . Может показаться излишним настаивать на том, что для того, чтобы хорошо что-нибудь сказать, нужно иметь, чтó сказать; однако, это не шутка. Масса плохой математической и всякой другой литературы плоха тем, что грубо нарушает это первейшее правило. Последовательность расходится лишь в двух случаях: либо у нее нет ни одной предельной точки, либо их слишком много. Точно так же беспредметный текст может получиться либо при полном отсутствии идей либо при их чрезмерном количестве.

Первую болезнь подхватить труднее. Тяжело написать много слов ни о чем, особенно в математике, но сделать это можно и результат наверняка окажется трудным для чтения. Имеется классическая вздорная книга Карла Теодора Хэйзеля [5 ], способная служить примером тому. Она полна правильно написанных слов, составляющих грамматические корректные предложения, но заглядывая в нее время от времени вот уже тридцать лет, я ни разу не смог прочесть в ней подряд двух страниц и в одном абзаце резюмировать их содержание. Я думаю, это потому, что там нет никакого содержания.

Вторая болезнь распространена очень широко; многие книги погублены желанием автора сказать слишком многое. Преподаватели элементарной математики в США нередко жалуются на то, что все курсы анализа плохи. Так оно и есть. Книги по анализу плохи потому, что математического анализа, как предмета, не существует. Это — не предмет, а множество предметов. Что сегодня мы называем анализом? Немного логики и теории множеств, доля аксиоматической теории полных упорядоченных полей, аналитической геометрии и топологии, причем последней как в «общем» смысле (пределы и непрерывные функции), так и в алгебраическом (ориентация); к этому нужно еще добавить собственно теорию функций действительного переменного (дифференцирование), оперирование комбинаторными символами, называемое формальным интегрированием, азы теории меры в низшей размерности, кое-что из дифференциальной геометрии, основы классического анализа тригонометрических, показательных и логарифмических функций; наконец, в зависимости от объема книги и наклонностей автора, домашняя стряпня из дифференциальных уравнений, элементарная механика и приложения в небольшом ассортименте. По каждому из этих предметов нелегко написать хорошую книгу; смешать же их невозможно.

Маленькая жемчужина, которую представляет собой доказательство Нельсона теоремы о постоянстве ограниченной гармонической функции [7 ], и монументальный трактат Данфорда и Шварца по функциональному анализу [3 ] доставляют примеры математических сочинений, которым есть что сказать. Работа Нельсона занимает меньше, чем полстраницы, а книга Данфорда–Шварца в четыре тысячи с лишним раз длиннее ее; однако, в обоих случаях ясно, что авторы твердо знали, что хотели сказать. Предмет существует и очерчен четко; он ловко скроен и крепко сшит — есть о чем говорить.

Говорить нечто определенное — это, безусловно, важнейшая составная часть хорошего изложения; ведь чем важнее идея, тем больше шансов на бессмертие у работы, даже если материал подан запутанно и организован плохо. Доказательство Биркгофа эргодической теоремы [1 ] запутано почти до предела, а «последнее письмо» Ванцетти [9 ] написано сбивчиво и неуклюже; но наверняка всякий, кто читал их, благодарен тому, что они написаны. Однако ограничиться соблюдением только этого принципа удается редко, и это всегда нежелательно.

3. Говорите, обращаясь к кому-нибудь определенному . Второй принцип хорошего изложения — обращаться к определенному слушателю. Решаясь что-либо написать, спросите себя, кому бы вы хотели это адресовать? Пишете ли вы заметку, предназначенную только для себя, или письмо другу? Научное сообщение для специалистов или учебник для студентов последнего курса? По существу, трудности во всех случаях одинаковы. Меняется количество необходимых мотивировок, уровень неформальности, который вы можете себе позволить, степень скрупулезности в деталях и число повторений. Читатели влияют на все, что пишется, но уж когда читатели выбраны задача автора — войти в контакт с ними настолько тесный, насколько это возможно.

Издатели знают, что двадцать пять лет для большинства математических книг — возраст почтенно старый; научные статьи отживают, в среднем (предположительно) через пять лет. (Разумеется, могут быть полные жизни пятидесятилетние статьи и книги, умирающие пяти лет от роду.) Конечно, математическое сочинение слишком эфемерно, чтобы быть долговечным, но если вы хотите донести свою работу до сегодняшней аудитории, писать ее надо так, как если бы это делалось на века.

Я люблю представлять свою аудиторию не только в неопределенном общем плане (например, профессиональные топологи или студенты-второкурсники), но и очень конкретно, лично. Мне помогает, когда я думаю о некотором определенном человеке, с которым, быть может, два года назад я обсуждал эту тему, или о нарочно притворившемся непонятливым друге-коллеге, которому я мысленно втолковываю то, о чем пишу. Например, в этом очерке я рассчитываю пронять молодых студентов-математиков, которые вот-вот начнут делать диссертации, но в то же время мысленно кошусь на одного коллегу, чьи манеры еще могут исправиться. Конечно, я надеюсь, что (а) он переймет мои манеры, но (б) не обидится, когда осознает, что я пишу для него.

Есть свои преимущества и недостатки в обращении к очень точно определенной аудитории. Чтение чужих мыслей, без которого не обойтись, сильно облегчается — это большое преимущество; однако появляется соблазн ввязаться в бесцельную полемику или тяжеловесно острить «для своих». Это — недостаток. Наверняка всякому ясно, почему это — недостаток. Избегайте его. Преимущество же заслуживает дальнейшего рассмотрения.

Долг автора — предвидеть затруднения читателя и избавлять его от них. Во время работы ему следует постоянно пытаться представить себе, какие из написанных слов могут ввести читателя в заблуждение, и какие ориентируют его верно. Позднее я приведу один-два примера по этому поводу; сейчас же мне хочется подчеркнуть, что представлять определенного читателя не только полезно в этой части писательской работы, но и жизненно важно.

Быть может, это и так ясно, но все-таки невредно отметить, что аудитория, к которой в действительности окажется адресованной работа, может значительно отличаться от предполагаемой. Нет ничего, что гарантировало бы удачный выбор цели. И несмотря на это, еще раз повторяю: лучше иметь определенную цель и при этом попасть во что-нибудь другое, чем иметь цель слабо определенную и чересчур широко очерченную и не иметь шансов попасть во что бы то ни было. К плечу, целься, пли! И авось вы поразите мишень — хорошо, если ту, в которую вы целились, а если не ту, — то все равно это лучше, чем слать пули в молоко.

4. Сначала организуйте материал . Главное, что может сделать автор научного текста, состоит в такой организации и такой подаче материала, при которых сводится к минимуму сопротивляемость читателя, максимально возбуждается его интуиция, и он идет по верному пути, не отвлекаясь без нужды. Чем, в конце концов, книга лучше кипы препринтов? Ответ: умелой и приятной подачей материала, акцентами в нужных местах, выявлением внутренних связей, описанием примеров и контрпримеров, на которых основана теория; одним словом, — организацией материала.

Открыватель идеи, который, конечно, может быть и автором статьи о ней, наткнулся на нее вслепую, почти случайно. Если бы не существовало способа привести все это в порядок, причесать и пригладить открытие, то не было бы никакой возможности извлекать пользу из «стояния на плечах гигантов» и не было бы времени изучить что-либо новое, неизвестное предыдущему поколению.

Как только вы уяснили, что и кому хотите сказать, приступайте к следующему этапу: сделайте набросок. По моему опыту это, как правило, невозможно. Идеал состоит в том, чтобы сделать набросок, где упоминается каждое предварительное эвристическое рассуждение, каждая лемма, каждая теорема, каждое следствие, каждое замечание, каждое доказательство и в котором все эти части появляются в логически корректном и психологически легко усваиваемом порядке. При идеальном подборе материала всему находится место и все находится на месте. Внимание читателя удерживается тем, что ему заранее сказали, чего ожидать; одновременно, в видимом противоречии с этим, происходят приятные неожиданности, которых нельзя было предвидеть на основе бесплотных определений. В хорошем наброске все детали подогнаны, леммы появляются там, где они нужны, хорошо видны внутренние связи между теоремами. Набросок показывает, где это разместить.

Я делаю небольшое и, возможно, несущественное различие между организацией материала и его подачей. Организовать материал — это значит решить, какие заголовки будут у глав и параграфов, что будет в этих главах и как они будут связаны. Схема организации материала представляет собой некий граф, очень может быть, что дерево, но, почти наверняка, не цепь. Существует масса способов организовать те или иные материалы и, как правило, есть много способов преподнести читателю результаты каждой такой организации в линейном порядке. Организация материала — вещь более важная, чем его подача, но последняя часто имеет психологическое значение.

Один из самых заслуженных комплиментов автору, которые я когда-либо высказывал, возник из моей неудачи: я провалил курс лекций по его книге. Началось это вот с чего: мне не понравился один параграф, и я его пропустил. Тремя разделами позже мне понадобился небольшой кусочек из самого конца опущенного параграфа; однако нетрудно было дать другое доказательство. Такое случилось еще разок-другой, но всякий раз немного изобретательности и несколько понятий с потолка позволяли залатать брешь. Но вот в следующей главе появилось место, для которого требовались не фрагменты опущенного раздела, а то обстоятельство, что его результаты были приложимы к двум ситуациям, на первый взгляд совершенно различным. Оказалось почти невозможно наскоро заделать пробоину; после этого быстро воцарился хаос. Настолько плотно подогнанной была эта книга: все, что было включено в нее, включалось по необходимости; материал подавался в ней во взаимосогласованности своих частей, что облегчало чтение и понимание. Однако скрепы, соединявшие все в единое целое, не бросались в глаза; они становились заметными только после вторжения в структуру той или иной части.

Даже самые неорганизованные авторы делают грубый набросок будущей книги, возможно, и не записывая его; в конце концов, тема сама по себе является наброском в одно слово. Если вы знаете, что будете писать о теории меры, то у вас есть набросок в два слова, а это уже кое-что. Пробный набросок по главам еще лучше. Он может выглядеть так: я расскажу им о множествах, потом — о мерах, потом — о функциях, потом — об интегралах. На этой стадии вы захотите принять кое-какие решения, которые, однако, позднее можно и отменить. Например, вы можете решить, что опустите теорию вероятностей, но включите меру Хаара.

В некотором смысле подготовка наброска может занять годы, или, по крайней мере, много недель. Что касается меня, то обычно между первым радостным моментом, когда я задумываю написать книгу, и первым мучительным моментом, когда я сажусь и начинаю это делать, лежит долгий промежуток. Во время повседневной работы ради насущного хлеба с маслом я мечтаю о новом замысле, и когда по этому поводу приходят идеи, я записываю их на разрозненных листочках бумаги и складываю, как попало, в папку. «Идея» здесь может означать название области математики, которую, по моим ощущениям, следует включить, или же выбор буквы для некоторого обозначения; ею может быть доказательство, выразительное слово или острота, которая, я надеюсь, не окажется пошлой, а оживит, подчеркнет и проиллюстрирует то, что я хочу сказать. Когда же наступает тот самый мучительный момент, у меня, во всяком случае, есть та самая папка. Раскладывание пасьянса из клочков бумаги может оказать большую помощь в подготовке наброска.

При организации текста вопрос о том, что опустить, едва ли не важнее, чем вопрос о том, что включить. Изобилие деталей может так же обескураживать, как и их отсутствие. Расстановка всех точек над всеми i, как это принято в старомодных Cours d"Analyse — вообще, и в курсе Бурбаки — в частности, удовлетворяет лишь автора, который этот курс все равно понимает, да беспомощно слабого студента, который никогда его не поймет. Для более вдумчивых читателей такие вещи более чем бесполезны. Сердце математики состоит из конкретных примеров и конкретных проблем. Большие общие теории появляются обычно после обдумывания маленьких, но глубоких суждений; сами же суждения начинаются с проникновения в конкретные частные случаи. Мораль: лучше всего расположить материал вашей работы вокруг центральных, решающих примеров и контрпримеров. Если какое-нибудь доказательство устанавливает немножко больше, чем то, ради чего оно изобреталось, обычно это можно оставить читателю. Где читателю действительно нужно опытное руководство, так это в обнаружении тех вещей, которых имеющиеся доказательства не доказывают: каковы подходящие к данному случаю контрпример и куда плыть дальше?

5. Подумайте об алфавите . Когда у вас появился план расположения материала, какой-нибудь набросок, может и не блестящий, но лучшее, что вы смогли" сделать, — вы почти готовы начать писать. Единственное, что я еще порекомендовал бы сделать до этого: потратьте часок-другой на размышления об алфавите; позднее это спасет вас от многих страданий.

Буквы, которые вы используете для обозначения обсуждаемых понятий, заслуживают тщательных предварительных размышлений. Хорошая, последовательная система обозначений может быть чрезвычайно полезна, и я призываю (авторов статей, но особенно — авторов книг) решать вопрос о ней с самого начала. Лично я делаю огромные таблицы с многочисленными алфавитами и шрифтами, строчными и прописными, и пытаюсь представить себе все пространства, группы, векторы, функции, точки, поверхности, меры и все остальное, что раньше или позже придется окрестить. Плохая система обозначений может сделать хорошее изложение плохим, а плохое — еще ухудшить; решения об обозначениях, принимаемые наспех посреди фразы, почти наверняка будут плохими.

Хорошая система обозначений обладает своеобразной алфавитной гармонией и уклоняется от диссонансов. Пример: ах+bу или а1x1+a2x2 лучше, чем аx1+bx2. Или: если вам приходится использовать символ S для обозначения множества индексов, убедитесь, что вы не влипните в SsÎS as . Предостережение в том же стиле: вероятно, многие читатели не заметят, что вы использовали символ |z|