Интерполяция функций
Лабораторная работа по дисциплине «Вычислительные методы линейной алгебры».
Министерство образования Российской Федерации.
Хабаровский государственный Технический Университет.
Кафедра «Прикладная математика и информатика»
Хабаровск 2003
Задание.
1) Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значения в точке х=1.25.
xi |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
3.5 |
yi |
0.5 |
2.2 |
2 |
1.8 |
0.5 |
2.25 |
2) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.
xi |
0 |
0.25 |
1.25 |
2.125 |
3.25 |
yi |
5.0 |
4.6 |
5.7 |
5.017 |
4.333 |
3) Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.
xi |
7 |
9 |
13 |
yi |
2 |
-2 |
3 |
Постановка задачи интерполяция.
Пусть известные значения функции образуют следующую таблицу:
x0 |
x1 |
x2 |
... |
Xn-1 |
xn |
y0 |
y1 |
y2 |
... |
yn-1 |
yn |
При этом требуется получить значение функции f в точке x, принадлежащей
отрезку [x0..xn] но не совпадающей ни с одним значением xi.Часто при этом не известно аналитическое выражение функции f(x), или оно не пригодно для вычислений.
В этих случаях используется прием построения приближающей функции F(x), которая очень близка к f(x) и совпадает с ней в точках x0, x1, x2,... xn. При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки x0,x1,x2,...xn - узлами интерполяции. Обычно интерполирующую ищут в виде полинома n степени:
Pn(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an
Для каждого набора точек имеется только один интерполяционный многочлен, степени не больше n. Однозначно определенный многочлен может быть представлен в различных видах. Рассмотрим интерполяционный многочлен Ньютона и Лагранжа.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Формула Лагранжа является наиболее общей, может применяться к таким узлам интерполяции, что расстояние между соседними узлами не постоянная величина.
Построим интерполяционный полином Ln(x) степени не больше n, и для которого выполняются условия Ln(xi)=yi . Запишем его в виде суммы:
Ln(x)=l0(x)+ l1(x)+ l2(x)+...+ ln(x), (1)
где lk(xi)= yi, если i=k, и lk(xi)= 0, если i≠k;
Тогда многочлен lk(x) имеет следующий вид:
lk(x)=
(2)
Подставим (2) в (1) и перепишем Ln(x) в виде:
Если функция f(x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем n+1 раз, то погрешность интерполяции оценивается следующим образом:
где0